Taylor polynomi usean muuttujan funktiolle Yhden muuttujan reaaliarvoiselle funktiolle f(x) tunnetaan (m. asteen) Taylor-polynomi
pisteen c ympäristössä, kun f(x):llä on (ainakin) m+1 asteen jatkuvat derivaatat c:n
sisältämällä välillä: Kun f(x) on ’riittävän säännöllinen’ pisteen c läheisyydessä, voidaan se lisäksi esittää
Taylor kehitelmänsä avulla eli lausekkeena Nämä käsiteet voidaan yleistää n:n muuttujan reaaliarvoiselle funktiolle f(x). Funktion
f(x1,...,xn) m. asteen Taylor polynomi pis
Taylor polynomi usean muuttujan funktiolle Yhden muuttujan reaaliarvoiselle funktiolle f(x) tunnetaan (m. asteen) Taylor-polynomi
pisteen c ympäristössä, kun f(x):llä on (ainakin) m+1 asteen jatkuvat derivaatat c:n
sisältämällä välillä: Kun f(x) on ’riittävän säännöllinen’ pisteen c läheisyydessä, voidaan se lisäksi esittää
Taylor kehitelmänsä avulla eli lausekkeena Nämä käsiteet voidaan yleistää n:n muuttujan reaaliarvoiselle funktiolle f(x). Funktion
f(x1,...,xn) m. asteen Taylor polynomi pisteen c = (c1,...,cn) ympäristössä on kaikki m:n asteen sekaderivaatat... ...pisteessä C ...kertaa vastaavien
koordinaattien erotus
Erikoistapauksia Taylor polynomista
Tarkastellaan kahden muuttujan funktiota f(x,y). Sen ensimmäisen kertaluvun Taylor-
polynomi pisteen c = (a,b) ympäristössä on Mutta tämähän on pinnan z = f(x,y) pisteeseen (a, b, f(a,b)) piirretyn tangenttitason
yhtälö, jota myös f(x,y):n ensimmäisen kertaluvun approksimaatioksi sanotaan. Kun muistamme, että pinnan z = f(x,y) pisteeseen (a,b,f(a,b)) piirretyn gradienttivektorin f(a,b) lauseke oli f(a,b) = fx(a,b)i + fy(a,b)j (missä luettiin ’nabla’) ja huomaamme,
että
f(c)·(x – c) = [fx(a,b)i + fy(a,b)j] ·[(x - a)i + (y - b)j] voimme päätellä, että 1. kl. Taylor polynomi voidaan kätevästi esittää gradientin avulla:
p1(x) = f(c) + f(c)·(x – c).
Tarkemmin ajatellen kyseinen kaava pätee kaikille n:n muuttujan funktioille! Tarkastellaan seuraavaksi kahden muuttujan funktiota f(x,y). Sen toisen kertaluvun
Taylor polynomi pisteen c = (a,b) ympäristössä sisältää ’sekaderivaattatermit’ Muodostamalla f(x,y):n Hessen matriisi
pisteessä c voidaan todeta (kotitehtävänä!), että Siten toisen kertaluvun
Taylor polynomille saadaan lauseke:
Toisen kertaluvun Taylor polynomin lauseke (joka itse asiassa pätee kaikille n:n muuttujan funktioille f(x)): Esimerkki. Laskettava (a) nollannen (b) ensimmäisen ja (c) 2. asteen Taylor-polynomi
funktiolle f(x,y) = x3y4 kehityskeskuksessa c = (1,2). (a) 0. asteen Taylorpolynomi on f(c) = 13·24 = 16 (b) 1. asteen Taylorpolynomia varten pitää ’nablata f’ ja laskea pistetulo: Siten 1. asteen Taylor polynomi on p1(x) = 48x + 32y – 96. (c) 2. asteen Taylorpolynomia varten muodostetaan aluksi f:n Hessen matriisi: Siten erityisesti
H(1,2) = Lasketaan sitten matriisitulo
2. asteen Taylor polynomi saadaan nyt lisäämällä p1(x):n lausekkeeseen nämä termit: Hetkonen, mihin näitä Taylor polynomeja oikein tarvitaan? Insinööritieteissä tarvitaan usein
mm likiarvoja. Taylor polynomia
on helpo integroida, derivoida,
laskea raja-arvoja, likiarvoja,
jne. jne... Lähellä kehityskeskusta
se käyttäytyy likimain kuin alku-
peräinen funktio.
Usean muuttujan vektoriarvoisista funktioista (Edwards&Penney Luku 13.7) Matriisiteorian yhteydessä lienee jo tutustuttu lineaarikuvauksiin :Rn→Rm (niitä, jotka
voidaan esittää matriisikertolaskun avulla AX = Y ja joille (l(x + y)) = l(x) + l(y).
Usean muuttujan vektoriarvoinen funktio f kuvaa n-ulotteisia vektoreita m-ulotteisiksi
vektoreiksi, esim. on kuvaus
f:R3→R5
jonka arvo
pisteessä Tässä funktiot sin(x) + cos(y), x2, ez ln(y+z3) ja 2 ovat f:n komponenttifunktiot,
merkään niitä seuraavasti: Varoitus: merkintä fi
ei ole yksikäsitteinen,
sehän voisi tarkoittaa
samaa kuin usean
muuttujan funktion
i:s osittaisderivaatta Jatkossa tarkastellaan yleisiä
vektoriarvoisia usean muuttujan
funktiota f:Rn→Rm , missä
m, n ³ 1. Monet niiden omi-
naisuuksista palautuvat kompo-
nettifunktioiden ominaisuuksiin:
* f on määritelty pisteessä x0 täsmälleen silloin kuin jokainen komponettifunktio on
määritelty tässä lähtöavaruuden Rn pisteessä, ts.
f:n määrittelyalue on komponettifunktioiden määrittelyalueiden leikkaus
* funktiolla f on raja-arvo pisteessä x0 täsmälleen silloin kun jokaisella komponetti-
funktiolla on raja arvo tässä pisteessä,
* f on jatkuva pisteessä x0 silloin ja vain silloin kun sen jokainen komponettifunktio
on jatkuva tässä pisteessä [vastaavasti f:n jatkuvuus jossakin alueessa]. Esimerkki. Olkoon f:R2→R4 kuvaus 2- ja 4-ulotteisten Euklidisten avaruuksien välillä
ja määritelty ehdolla Mikä on f:n määrittelyjoukko Deff?
Ratkaisu. Tarkastellaan komponettifunktioden
määrittelyjoukkoja: f1 ja f3 on selvästi määritelty aina eli
Deff1 = Deff3 = R2. (b) Laske raja-arvo Ratkaisu: Tutkitaan
komponettien
raja-arvoja:
(c) Miten f(x) tulisi määritellä joukossa, jossa 4x2 = y2, jotta siitä tulisi jatkuva?
Ratkaisu. Edellisen raja-arvotarkastelun nojalla ongelmallinen on 4. komponettifunktio.
Koska Funktioiden f:Rn→Rm ja g:Rm→Rk
yhdistetty funktio on kuvaus
g○f:Rn→Rk, joka on määritelty kaavalla Esimerkki. Olkoot funktiot
f:Rn→Rm ja g:Rm→Rk
määritelty kaavoilla f:n määrittelyalue on koko R2 taso,
mutta g:tä ei ole määritelty, jos x
on negatiivinen eli
Defg = {(x,y,z)ÎR3, x³0} Yhdistetyn funktion määrittelyalue: Siis
Differentioituvuus, kokonaisderivaatta, Jacobin matriisi
Olkoon f:Rn→Rm määritelty jossakin n-ulotteisen avaruuden pisteen X0 ympäristössä.
Jos on olemassa lineaarikuvas :Rn→Rm [eli itse asiassa matriisi Amn !] ja funktio
g:Rn→Rm siten, että tässä ympäristössä on aina voimassa on f differentioituva pisteessä X0.
f on differentioituva jossakin alueessa,
jos se on differentoituva tämän alueen
kaikissa pisteissä Riittävä ehto f:n differentioituvuudelle on kaikkien komponenttifunktioiden fi, i=1,...,m
kaikkien osittaisderivaattojen ∂fi/∂xj, j=1,...,n olemassaolo jatkuvina pisteessä X0.
Lineaarikuvauksen rooliin tulee silloin funktion f Jacobin matriisi Arvoa Jf(X0)
sanotaan funktion f
kokonaisderivaataksi
pisteessä X0.
Esimerkki. Olkoon funktio f:Rn→Rm
määritelty kaavalla Lasketaan sen kokonaisderivaatta
pisteessä (x,y,z) = (1, -1, 2): Yhdistetyn funktion derivaatta, yleinen ketjusääntö
Yhden muuttujan yhdistetyn funktion derivaatan ketju-
sääntö D(g(f(x)) = g’(f(x)f(x) on opittu jo lukiossa,
näimme myös derivoinnin ketjusäännön usean muuttujan muuttujan reaaliarvoisille funktioille. Nyt tämä sääntö esitetään kaikkein yleisimmässä muodossaan Jacobin matriisin avulla: Olkoot funktiot f:Rn→Rm ja g:Rm→Rk differentioituvia. Silloin yhdistetyn funktion
g○f:Rn→Rk kokonaisderivaatalle pätee: g:n Jacobi pisteessä f(X0) f:n Jacobi pisteessä X0 matriisitulo
Esimerkki. Todennetaan kaava 1° Lasketaan ensin yhdistetty funktio g○f ja sitten sen Jacobin matriisi Jg○f:
Koska on Jacobin
matriisi Jg○f =
2° Lasketaan ensin Jacobin matriisit Jg(f(4,1)) ja Jf((4,1) ja sitten näiden matriisitulo.
Tarvitsemme myös arvoa f(4,1) = (4,6,4). Siten matriisituloksi saadaan Sama
tulos! Yhdistetyn funktion derivoimiskaavan yleinen todistus on suoraviivainen, mutta teknisesti hankalahko; ensin todetaan että koska f on
differentioituva pisteessä X0, on sitä myös yhdistetty funktio. Tämän jälkeen muodostetaan yhdis-
tetyn funktion Jacobin matriisi ja tarkastellaan sen paikalla (i,j) olevaa alkiota. Matriisin kertolas-
kuominaisuuksista seuraa, että tämä alkio on sama kuin tulomatriisin vastaavalla paikalla oleva
alkio.
Comments