Stokastinen varastoteoria Vesistösuunnittelu 17.3.2006
Ari Jolma
Stokastinen varastoteoria Vesistösuunnittelu 17.3.2006
Ari Jolma
Varastoteorian tavoite
Säännöstelyaltaiden stokastisen varastoteorian tavoitteena on kyetä laskemaan altaassa olevan vesimäärän jakauma (suoraan) altaan tulovirtaaman ja säännöstelyn funktiona
-> riskianalyysi patojen suunnittelun yhteydessä
-> säännöstelyohjeiden ja –suunnitelmien laadinta ja niiden riskianalyysi
Tilansiirtomatriisi
Esim. sateinen päivä
tänään on sateinen päivä tänään on poutapäivä
eilen oli sateinen päivä todennäköisyys = 0,7 todennäköisyys = 0,3
eilen oli poutapäivä todennäköisyys = 0,2 todennäköisyys = 0,8
Oletus: päivä on joko sateinen tai poutainen, kolmas vaihtoehto on poissuljettu
Eri tapahtumien todennäköisyydet (tila)
Sää tänään on satunnaismuuttuja (vektori pt). Jos tänään sataa (todennäköisyys että on sadepäivä = 1) niin tilavektorin arvo on [1 0]. Tilansiirtomatriisi P on
0,7 0,3
0,2 0,8
Huomisen sää voidaan nyt ennustaa:
pt+1 = pt P
Stationaarinen tila
= Tilan todennäköisyysjakauma äärettömän kaukana nykyhetkestä
Mikä on sateisen päivän todennäköisyys?
päivä 1 päivä 2 päivä 3
sateinen päivä 1 1*0,7+0*0,2=0,7 0,7*0,7+0,3*0,2=0,55
poutapäivä 0 1*0,3+0*0,8=0,3 0,7*0,3+0,3*0,8=0,45
päivä 4 päivä 4
sateinen päivä 0,55*0,7+0,45*0,2=0,475 0,475*0,7+0,525*0,2=0,4375
poutapäivä 0,55*0,3+0,45*0,8=0,525 0,475*0,3+0,525*0,8=0,5625
(jatkoa...) Stationaarinen tila
Mikä on sateisen päivän todennäköisyys? 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Poutapäivän todennäköisyys Sadepäivän todennäköisyys Päiviä nykyhetkestä 1 5 huom: prosessin muisti on yksi vrk mutta
se, että tänään on sadepäivä vaikuttaa
paljon pidemmälle tulevaisuuteen 10
Riski
Riski on seurausta tulovirtaamaan liittyvästä epävarmuudesta
tulovirtaamasta tiedetään vain sen aikaisempi toteutunut historia
historiasta voidaan estimoida tilastollisia suureita mutta on epävarmaa ovatko ne muuttumattomia
esim. ilmastonmuutos, muutokset valuma-alueella
lisäksi tulovirtaama on joka tapauksessa satunnaismuuttuja
Lisäksi juoksutuksista ja säännöstelystä yleensä (altaan vedenkorkeus) saatavaan hyötyyn voi liittyä epävarmuuksia
Tavoitejuoksutus
Tavoitejuoksutus todellinen menovirtaama
Todellinen menovirtaama on satunnaismuuttuja
Juoksutussäännön pitää määritellä mitä tehdään jos tavoitejuoksutusta ei voida toteuttaa
Riskin kvantifiointia
Esim. altaasta halutaan vettä vuoden aikana vähintään 100 Mm3 mutta siitä saadaan 80 Mm3
Säännöstelyyn liittyvä epäonnistumisen riski on toteutunut
Epäonnistumisen suuruus on 20 Mm3
Allas on ollut tyhjä (tai sen vedenkorkeus on ollut alle vedenottorajan), kun vettä on tarvittu
Epäonnistumisen riskin käänteispuoli (1-P(epäonnistuminen)) on luotettavuus
Epäonnistumisen riskin todennäköisyys (ja suuruus) voidaan laskea kun altaan varasto tunnetaan
Historiaa 1. empiirinen kausi
Hazen 1914
koosti 300 vuoden pituisen virtaama-aikasarjan 14 amerikkalaisen joen havainnoista
laski kuinka alkujaan täysi ja äärettömän kokoinen allas käyttäytyy kyseisen tulovirtaaman ja vakiojuoksutuksen seurauksena
muokkasi tuloksista taulukoita joissa on altaan tyhjenemisen riski tulovirtaaman ominaisuuksien, altaan koon ja juoksutuksen funktiona
Rippl 1883
Summakäyrämenetelmä
Nykyisin myös puhdas altaan toiminnan simulointi
->varasto–antoisuus (storage—yield) analyysi
->tilastollisen analyysin avulla voidaan laskea varaston todennäköisyysjakauma, ja tehdä riskianalyysia
Keksittiin 1930-luvulla Neuvostoliitossa
Savarenski, Kritski ja Menkel (1940)
sekä 1950-luvulla lännessä
Moran (1954)
Ei empiriaa vaan olettaen tietty stokastinen malli tulovirtaamalle ja deterministinen malli juoksutuksille, laskettava altaan varaston jakauma suoraan
Teoreettinen stokastinen varastoteoria käytännössä
Varasto diskretoidaan
Tulovirtaama ja juoksutus käsitellään vuotuisena tai se jaetaan vuoden sisällä osiin (kuukausittaisiin tai jopa viikottaisiin arvoihin)
Juoksutussääntö: miten juoksutus määräytyy
Savarenskin tapa
väli 0..K jaetaan n-1 väliin, joiden koko ei välttämättä ole vakio, väliä (varastotilaa) edustaa sen keskipiste
lisäksi on kaksi varastotilaa S0=0 ja Sn=K jotka edustavat nollan levyisiä välejä
Moranin tapa
välin koko on vakio
ensimmäinen ja viimeinen väli ovat puolikkaita
Klemeš: Moranin tapa edellyttää useampia tiloja
Tilansiirtomatriisi
Tila hetkellä t , tila hetkellä t+1
Esim. havainnoista
Oletetaan, että on N havaintoa
Luokitellaan tilat esim. n:ään luokkaan si, i=0..n
Lasketaan siirtymät luokkien välillä ja jaetaan ne N:llä
Sijoitetaan saadut numeroarvot matriisiin, jossa rivi kuvaa tilaa hetkellä t ja sarake tilaa hetkellä t+1
Tilansiirtomatriisin ominaisuuksia
Rivin elementtien summa = 1
Mallissamme on kaikki mahdolliset tilat
Tila
Periaatteessa kaiken relevantin informaation summa tietyllä ajanhetkellä
Voi sisältää historiallista tietoa
Voi sisältää ennusteita
Tila on subjektiivinen, havaitsijan (mallintajan) näkökulmasta määritelty asia
vrt. Järjestelmän tila
vrt. Altaassa oleva vesimäärä
Tila, jolla on Markov-ominaisuus
Ajatellaan havaitsija—toimijaa,
joka havainnoi jotain ympäristössään olevaa järjestelmää (tai koko ympäristöään) ja
joka kohdistaa ympäristöönsä toimenpiteitä
Tilalla on Markov-ominaisuus, jos tilan arvon todennäköisyyden ajanhetkellä t+1 määrää yksinomaan tila hetkellä t ja toimenpide aikavälillä t..t+1
Teorian edellyttämä ominaisuus, tarkoittaa käytännössä? (tiedetäänkö mitä ei tiedetä?)
Tilan, jolla on Markov-ominaisuus, tilansiirtomatriisin
määrää siis yksinomaan tarkastellun järjestelmän ominaispiirteet ja toimenpiteet
toimenpiteet ovat seurausta toimintatavasta (esim. juoksutuspolitiikka)
onko varastoaltaan vedenkorkeudella Markov-ominaisuus?
Tila ja tilansiirtomatriisi ovat “naimisissa keskenään”
Comments