* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Signaalimallit Luento 24.10.2006
Heli Hytti
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Signaalimallit Luento 24.10.2006
Heli Hytti
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Signaalimallit Signaalimallinnuksen tavoitteita:
Erotella datasta haluttu informaatio jossain mielessä optimaalisella tavalla
Vapautua äärellisen näytemäärän rajoituksista
Kuvata signaalit tuottaneen järjestelmän toimintaa (yksi- ja monimuuttujaiset mallit)
Mallinnuksen edellytyksiä:
Datan oltava edustavaa suhteessa järjestelmän/signaalien monimutkaisuuteen
Signaalien (paloittainen) stationäärisyys
Ei deterministisiä komponentteja
Mallinnukseen liittyviä kysymyksiä:
Mihin pyritään? -> millainen malli
Järjestelmän lineaarisuus?
Mallin tarkkuusvaatimukset
Mallinnusalgoritmit
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Kertausta: spektrilaskenta FFT:n avulla Signaalien tehospektri FFT:n avulla
Signaalin FFT:n itseisarvon neliö = periodogrammi
Korrelaatiofunktion FFT:n itseisarvon neliö = korrelogrammi
Käytännössä periodogrammi lasketaan äärellisen mittaisen DFT:n avulla tasavälisissä taajuuspisteissä
Taajuusresoluution määrää käytettävissä olevien datapisteiden määrä
Pienin taajuus, mikä voidaan ilmaista on 1/T, missä T = mittauksen kesto
Datapisteiden määrää ja FFT:n pituutta voidaan kasvattaa lisäämällä datan perään nollia (zero padding) mutta se ei paranna taajuusresoluutiota vaikka spektriin tulee lisää pisteitä
Spektri voidaan ajatella muodostuvaksi myös siten että signaalia suodatetaan useilla peräkkäisillä kapeakaistaisilla suotimilla ja lasketaan tuloksen varianssi kullakin taajuuskaistalla
Mitä kapeammat kaistat, sitä parempi resoluutio
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Kertausta: spektrilaskenta FFT:n avulla Esimerkki: summautuneet sinikomponentit taajuuksilla 95 Hz ja 100 Hz, näyteväli on 1 ms -> näytteistystaajuus fs = 1000 Hz. Olkoon mitattujen pisteiden määrä M ja DFT:n pituus N
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Kertausta: spektrilaskenta FFT:n avulla Kun signaalissa on mukana kohinaa, spektriestimaatin varianssi on suuri (rosoinen spektri)
Tätä tilannetta voidaan parantaa keskiarvottamalla lyhyemmistä pätkistä laskettuja periodogrammeja (L = DFT:n pituus, K = pätkien määrä) (resoluutio huononee)
Hienosäätöä: datan ikkunoiminen ja overlapping (Welchin spektriestimaatti)
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Spektri ja siirtofunktio - Tutkittavana olevan signaalin y(n) voidaan ajatella muodostuneen siten että tulosignaali x(n) kulkee läpi tutkittavasta (lineaarisesta) järjestelmästä, jonka impulssivaste on h(n) - Tällöin lähtösignaali y(n) on aikatasossa tulosignaalin x(n) ja impulssivasteen h(n) konvoluutiosumma:
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Spektri ja siirtofunktio - Määrittämällä tulo- ja lähtösignaalien autokorrelaatiofunktioiden välinen yhteys, siirtymällä z-muunnoksen avulla kompleksitasoon ja sijoittamalla |z| = 1 (eli siirtymällä z-muunnoksesta Fourier-muunnokseen ja taajuustasoon) saadaan tärkeä tulos: Järjestelmän lähtösignaalin tehospektri on siis tulosignaalin spektrin ja järjestelmän h(n) amplitudivasteen neliön tulo
Jos tulosignaali on valkoista kohinaa, järjestelmän amplitudivaste ”värittää” sen ja määrää lähtösignaalin muodon
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Spektri ja siirtofunktio Aiemmassa harjoituksessa muodostettiin MATLABin avulla 2. kertaluvun Butterworth-suodin, jonka rajataajuus oli 0,2*fs:
>> [b,a] = butter(2,0.2)
b = 0.0675 0.1349 0.0675
a = 1.0000 -1.1430 0.4128
>> z = roots(b)
z =
-1
-1
>> p = roots(a)
p =
0.5715 + 0.2936i
0.5715 - 0.2936i b ja a ovat suotimen siirtofunktion kertoimet, z ja p kerroinpolynomien juuret:
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Spektri ja siirtofunktio Siirtofunktion osoittajan nollakohtia sanotaan nolliksi ja nimittäjän nollakohtia navoiksi
Esimerkki: em. suotimen napa-nollakuvio (reaalisilla signaaleilla navat ja nollat ovat reaalisia tai kompleksikonjugaattipareja)
Nollat vetävät amplitudivastetta kohti nollaa, navat taas kohti ääretöntä
Kun spektri lasketaan sijoittamalla siirtofunktioon arvoja yksikköympyrän kehältä, napoja vastaaville taajuuksille tulee sitä terävämpiä piikkejä mitä lähempänä napaa laskentapiste on
Laskenta voidaan tehdä niin tiheästi kuin halutaan -> resoluutio vapaasti valittavissa
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Spektri ja siirtofunktio, Butterworth-esimerkki
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Spektri ja siirtofunktio, toinen esimerkki
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Siirtofunktio ja mallit Edellä esitetty yleinen siirtofunktio on ns. ARMA-tyyppinen (AutoRegressive, Moving Average)
Auto- = itse, regressio = palautuminen, takautuminen: signaalia mallinnetaan omien aikaisempien arvojensa perusteella
Jos nimittäjän asteluku on 0, jäljelle jää MA-osuus (liukuva keskiarvo)
Spektrin kuvaaminen tällaisella mallilla vaikeaa
Jos osoittajan asteluku on 0, saadaan AR-malli: AR-malli sopii naparakenteensa ansiosta hyvin spektrien kuvaamiseen
AR-mallin kertoimien estimoiminen datasta on myös paljon helpompaa kuin MA-mallin
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Mallin kertaluvun valinta - Kertaluvun valintaan on olemassa erilaisia kriteereitä, esim. Akaike’s Information Criterion (AIC) ja Minimum Description Length (MDL) p = mallin kertaluku, L on datapisteiden määrä ja on ennustevirheen varianssi
Ensimmäinen termi pienenee kertaluvun kasvaessa, toinen (”sakkotermi”) taas kasvaa – kertaluvuksi valitaan se, jolla termien summa minimoituu
Eri kriteerit antavat erilaisia tuloksia, käytännön kokemus yleensä sanelee valinnan
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 AR-malli AR-suotimen lähtösignaali on
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 AR-mallin estimointi Muodostetaan normaaliyhtälöt, mallin kertaluku = M
- Vektorimuodossa:
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 AR-mallin estimointi Hyödynnetään ortogonaalisuusperiaatetta: estimointivirheen on oltava ortogonaalinen dataan nähden, eli mallinnukseen käytetystä datasta riippumaton. Vektorien avulla ilmaistuna:
Toisaalta
Ratkaistaan yhtälöryhmä matriisilaskennan avulla:
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 AR-mallin estimointi Halusimme tietää, mitkä ovat sen suotimen kertoimet jotka generoivat valkoisesta kohinasta tutkimamme (mallinnettavan) signaalin
Koska
huomaamme, että kerroinvektoriksi tulee [1, -a1,...,-aM]
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 AR-mallin verifiointi Mallin toimivuus voidaan verifioida käänteissuodatuksen avulla
Jos W(z)A(z) = X(z), täytyy olla X(z)A-1(z) = W(z)
Toisin sanoen: kun signaali x(n) suodatetaan estimoidun AR-suotimen käänteissuotimella, tuloksen pitäisi olla valkoista kohinaa
Kohinan valkoisuutta voidaan testata sen autokorrelaation ja/tai spektrin avulla – miten?
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 AR-malli ja autokorrelaatio Mikä on AR-mallinnuksen suhde autokorrelaatioon?
Optimaalisen AR-suotimen parametrit saatiin matriisien XTX ja XTx avulla
Kun näytepisteiden määrä N lähestyy ääretöntä, Tätä ratkaisua nimitetään Yule-Walkerin yhtälöksi, ja se on pohjana AR-mallin rekursiiviselle estimoinnille esim. Levinson-Durbinin algoritmin avulla
* MIT-1210 Mittaustekniikan matemaattiset menetelmät / Heli Hytti 24.10.2006 Lineaarinen ennustaminen AR-mallia voidaan käyttää myös ennustamaan dataa eteenpäin: Estimaattiin sisältyy kuitenkin aina ennustevirhe, joten kovin monen askeleen päähän ei ennusteita kannata tehdä
Käytetään enemmän tilastotieteissä kuin signaalianalyysissä
Comments