Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e Management Lezione n° 9
Da un punto di vista statistico
Y è un vettore aleatorio di cui si osserva una specifica realizzazione campionaria hp sulla distribuzione
X è una matrice costante con valore noto no hp sulla distribuzione
beta è un vettore costante non noto
l’errore è un vettore aleatorio di cui si osserva una specifica realizzazione campionaria hp sulla distribuzione Il modello di regressione lineare
Le ipotesi del modello
ogni osservazione di Y è uguale ad una combinazione
lineare dei regressori con pesi=coefficienti beta + un
termine di errore
in media Y può essere rappresentata come funzione
lineare delle sole (X1,…,Xp) Il modello di regressione lineare
Le ipotesi del modello
Difficilmente la relazione è valida per qualunque osservazione, più probabile che valga in media.
Si vuole trovare la retta lineare migliore data la nuvola di punti Y X Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Equazione teorica coefficienti non noti Equazione stimata coefficienti stimati (una delle infinite rette possibili) stime dei coefficienti errore di previsione previsione Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Stimando la retta di regressione si commette un errore di previsione: Metodo dei Minimi Quadrati Y X VALORE STIMATO VALORE OSS. ERRORE Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Obiettivo trovare la miglior approssimazione lineare della relazione tra Y e X1,…,Xp (trovare le stime dei parametri beta che identificano la “migliore” retta di regressione)
Metodo dei minimi quadrati lo stimatore LS è la soluzione al problema Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Lo stimatore dei Minimi Quadrati: LS
è funzione di Y e X ha media ha varianza Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Proprietà dello stimatore LS
non distorto
consistente (se valgono certe hp su X’X)
coincide con lo stimatore di max verosimiglianza sotto
hp forti
BLUE (Best Linear Unbiased Estimator)
Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Consistenza vale sotto particolari ho sugli elementi di X’X si ha consistenza sse gli elementi diagonali della matrice inversa di X’X vanno a 0 per n che va a infinito
Scomposizione della varianza SST=SSE+SSM
total sum of squares
variabilità di Y error sum of squares
variabilità dei residui model sum of squares
variabilità spiegata Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Indicatori sintetici di bontà del Modello R-quadro adjusted OK valori alti R-quadro OK valori alti Il modello di regressione lineare
La stima del modello Test F OK p-value con valori bassi
R-quadro= SSM/SST
misura la % di variabilità di Y spiegata dal modello =
capacità esplicativa del modello
misura la variabilità delle osservazioni intorno alla retta
di regressione.
SSM=0 (R-quadro=0) il modello non spiega
SSM=SST (R-quadro=1) OK
R-quadro adjusted= [1-(1-SSM/SST)]/(n-1)(n-p-1)
come R-quadro ma indipendente dal numero di
regressori
combina adattabilità e parsimonia Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Test F per valutare la significatività congiunta dei coefficienti
ipotesi nulla statistica test valutazione se p-value piccolo (rifiuto l’hp di coefficienti tutti nulli) il modello ha buona capacità esplicativa Il modello di regressione lineare
La stima del modello
Indicatori di bontà del Modello Il modello di regressione lineare
La stima del modello Y X Y X Y X R-SQUARE=0.7
F con p-value piccolo R-SQUARE=0.7
F con p-value piccolo
R-SQUARE=0.7
F con p-value piccolo
Test t per valutare la significatività dei singoli coefficienti
ipotesi nulla (j=1,…,p) valutazione il coefficiente è significativo (significativamente diverso da 0) se il corrispondente p-value è piccolo (ossia, rifiuto l’ipotesi di coefficiente nullo) il regressore a cui il coefficiente è associato è rilevante per la spiegazione del fenomeno statistica test Il modello di regressione lineare
La stima del modello
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