Meccanica Razionale per Allievi Ingegneri “Aerospaziali” Esercitazioni numeriche 2006 Realizzazione dei “Ritratti in Fase” per alcuni problemi classici della Meccanica
Meccanica Razionale per Allievi Ingegneri “Aerospaziali” Esercitazioni numeriche 2006 Realizzazione dei “Ritratti in Fase” per alcuni problemi classici della Meccanica
Obiettivi del Corso
Scopo del presente corso è fornire agli allievi strumenti concettuali ed un primo training per lo studio di problemi della Meccanica Razionale con i metodi del calcolo computerizzato. In particolare si fornisce una introduzione alla dinamica di sistemi non lineari e di sistemi dotati di cicli limite e si propone agli allievi l’uso critico di integratori numerici per tracciare i ritratti in fase di alcuni dispositivi classici particolarmente rappresentativi.
Programmazione “ben fatta”
Un programma di calcolo “ben fatto” ha un punto di inizio e una condizione di termine ben definiti
L’ obbiettivo del programma è definito ed enunciato (espressamente)
Sono assegnati i dati di ingresso e sono ben definiti i risultati attesi
Primi programmi
Programma uno: stampare un titolo con nome e matricola dell’ allievo
Programma due: scrivere su un file le coordinate di nove punti equidistanti su una circonferenza (usare le funzioni sin e cos)
Programma tre : come due, ma ordinando i punti in modo che siano i vertici di una stella, una volta congiunti successivamente con corde opportune. P.es. mediante l’uso del software “gnuplot” in ambiente Linux o mediante applicazioni Excel in ambiente Window .
Equazioni Differenziali Ordinarie
Metodi numerici per ”Problemi di Caucy” (vedi il corso di Analisi2).
Vogliamo considerare equazioni differenziali:
- lineari: particella libera, moto per gravità, crescita Malthusiana, decadimento radioattivo, oscillatore e repulsore armonico;
- non lineari: pendolo, crescita di popolazioni con risorse limitate, moto kepleriano, bipendolo;
-dotate di ciclo limite: orologio meccanico, problema di Lotka-Volterra, problema di Van Der Pol;
Con esiti caotici: pendolo forzato, mappa standard
O.D.E Lineari. Part.Libera
Particella libera: d2x/dt2 = 0 ; Per la soluzione introduciamo la variabile v, velocità, definita da v = dx/dt;
l’equazione del secondo ordine (d2x/dt2 = 0) diviene una coppia di equazioni del primo ordine: dv/dt = 0 ; dx/dt = v ; con le condizioni iniziali x(0) = x0 , v(0) = v0 .
Vedi più avanti le traiettorie rettilinee parallele nel piano delle fasi.
Moto per gravità
d2x/dt2 = g. Come sopra introduciamo la variabile v, velocità, definita da v = dx/dt;
l’equazione del secondo ordine diviene una coppia di equazioni del primo ordine: dv/dt = g; dx/dt = v ; con le condizioni iniziali x(0) = x0 , v(0) = v0 .
Più avanti sarà richiesto di tracciare anche per questo caso le traiettorie nel piano delle fasi.
Oscillatore e Repulsore Armonico
L’equazione d2x/dt2 = - ω2x , con ω2 = k /m , detta dell’oscillatore armonico, descrive il comportamento di un punto materiale di massa m soggetto al richia-mo di una forza elastica di costante k. L’equazione è rappresentativa del comportamento di sistemi fisici in prossimità della posizione di equilibrio stabile.
Se il coefficiente del termine lineare fosse invece positivo, si avrebbe il “repulsore armonico”, rappresentativo del comportamento di sistemi fisici in prossimità degli equilibri instabili. Ne è esempio il moto di un punto in un campo centrifugo, p.es. il moto relativo di un punto materiale su una giostra.
Crescita Malthusiana e decadimento nucleare
I fenomeni sono descritti dalla equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine dy/dt = A y , con A positivo nel caso della crescita di popolazioni viventi. A rappresenta il numero di nuovi nati nella unità di tempo (vedi anche il modello di crescita del capitale bancario).
Per A negativo il modello può rappresentare il decadimento radioattivo o lo svuotamento di una spugna (o di uno strato di terreno) impregnati di acqua (o l’evoluzione di una popolazione senile in cui A è il numero di decessi nella unità di tempo).
Gli esiti numerici dei due problemi possono essere sorprendenti in termini di precisione di calcolo e di dominanza degli errori numerici sulla vera soluzione.
Sviluppo di Taylor per il problema di Cauchy: crescita Malthusiana.
Gli allievi hanno studiato ampiamente la teoria delle serie e delle successioni nei corsi precedenti. Il Calcolo Numerico richiede effettive utilizzazioni di tale teoria. Invitiamo a rileggere nei testi di analisi la teoria dello sviluppo in serie di Taylor-McLaurin per le funzioni più comuni.
Come primo esempio si consideri l’equazione dy/dt = A y , rappresentativa per numerosi problemi concreti, dagli interessi bancari fino alla crescita delle popolazioni biologiche.
Nel nostro esempio, semplificato e standardizzato, si ponga la condizione iniziale y(0) = 1 ed anche il coefficiente A sia costante (ed uguale ad 1). Vogliamo capire cosa significa il termine “ordine di precisione del solutore numerico”.
Il grafico dell’ esponenziale
Si cerca y(T).
Cerco uno sviluppo di Taylor, quindi ho bisogno delle successive derivate di Y, calcolate nel punto iniziale.
A è costante, da dy/dt = A y, si ha: d2y/dt2 = A dy/dt = A2 y; d3y/dt3 = A d2y/dt2 = A2 dy/dt = A3 y . Quindi: y(T)= y(0) ( 1+ AT + ½ (AT)2+1/6 (AT)3+ 1/24…). Con le consuete osservazioni per la convergenza della serie (prodotto AT < 1) e per la valutazione del resto.
Accorgimenti per il calcolo
Una volta scelto il numero di termini della serie, il calcolo va organizzato evitando di calcolare grandi fattoriali con i loro inversi e potenze successive di AT, ma raccogliendo i fattori comuni così da ridurre l’errore di troncamento che si verifica quando si sommano termini via via più piccoli y=yo (1+AT(1+1/2 AT(1+1/3 AT(1+1/4 AT(1+1/5 AT(…).
Come esercitazione richiesta si costruisca una procedura che chieda in input l’ordine massimo e realizzi il prodotto dei termini annidiati a partire dal più interno. In uscita la procedura fornirà, oltre al risultato approssimato voluto, anche una stima del primo termine trascurato.
Esempi : passo passo
Per valutare y a tempi t > R (raggio di convergenza), è possibile valutarla per t < R e quindi scegliere il nuovo valore di y come nuovo punto iniziale per lo sviluppo in serie di Taylor. L’espressione dello sviluppo in serie resta la medesima ed è sufficiente aggiornare i valori della funzione e delle derivate.
La scelta del valore di y al termine del primo passo come valore iniziale per un passo successivo illustra la filosofia generale dei metodi numerici che intendiamo adottare.
Attenzione: gli errori commessi in ciascun passo vanno sommati in valore assoluto per ottenere la stima dell’errore complessivo.
DA SVOLGERE PER L’ESAME
Può convenire accorciare il passo elementare, aumentando il numero dei passi, e simultaneamente riducendo il numero dei termini dello sviluppo in serie. La scelta dipende dal problema particolare ed è conveniente quando diviene grande l’onere del computo delle successive derivate.
La semplicità dell’esempio suggerito consente almeno in questi primi casi di valutare la soluzione dell’equazione proposta dapprima con passi piuttosto lunghi, prossimi ad R, e numerosi termini della serie di Taylor, poi con serie di Taylor più brevi e con un maggiore numero di brevi passi di calcolo. Si può scegliere A=1,T=0.5. Sviluppo fino alla 4 o alla 6 potenza, poi, per confronto T =1, T=0.25,T=0.125
Esempi : seni e coseni
Consideriamo ora la coppia di equazioni: dx/dt= -y ; dy/dt= x ; con x(0)= 1 ; y(0)=0.
È immediato calcolare le derivate successive delle due espressioni e quindi ottenere d2x/dt2= - dy/dt= - x d2y/dt2= dx/dt= - y d3x/dt3= - dx/dt= y d3y/dt3= - dy/dt= -x eccetera.
Svolgendo quindi lo sviluppo in serie di Taylor: x(T)= x(0) – y(0) T – ½ x(0) T2 + 1/6 y(0) T3 …… y(T)= y(0) + x(0) T – ½ y(0) T2 – 1/6 x(0) T3 ……
Esempi : seni & coseni, segue
E quindi si possono riorganizzare i termini: x(T)=x(0) (1-1/2 T2+1/(2x3x4)T4–1/(2x3x4x5x6) T6 ….)– y(0)T(1-1/(2x3)T2 +1/(2x3x4x5)T4–1/5040 T6….) y(T)=y(0) (1-1/2 T2 + 1/24 T4 – 1/720 T6 ….) + + x(0)T(1-1/6 T2 +1/120 T4 – 1/5040 T6 ….)
Anche ora è opportuno trasformare le somme di termini rapidamente decrescenti in prodotti come p.es x(T)=x(0) (1-(1/2 T2(1-1/(3x4)T2(1+1/(5x6) T2 (….)– y(0)T(1-1/(2x3)T2(1+(1/(4x5)T2(1-1/(6x7)T2 (….) etc... e quindi valutare se la scelta di compiere numerosi passi di piccola ampiezza può essere complessivamente vantaggiosa in termini di precisione dei risultati.
Seni & coseni, integrali primi
Risulta particolarmente utile, nello studio dei sistemi dinamici, considerare gli eventuali “Integrali Primi” o “Costanti del moto” ammessi dal sistema.
Per la coppia di equazioni dx/dt= -y ; dy/dt= x ; si può notare, moltiplicando la prima per x e la seconda per y e sommando i prodotti, x dx/dt= -x y ; y dy/dt= y x ; d(x2)/dt +d(y2)/dt= 0 da cui si deduce che la somma x2+y2 deve restare costante ed uguale al valore iniziale (in questo caso x(0)2+y(0)2=1).
Poter valutare nel corso della integrazione numerica se e come varia la costante del moto consente di misurare direttamente l’errore numerico che si commette.
Metodi numerici generali
Gli argomenti presentati oggi servono per costruire un linguaggio didattico comune.
Dovrebbero essere tutti a voi completamente noti e serviranno nelle prossime lezioni per costruire strumenti di lavoro più sofisticati ed efficaci.
Ma dovrebbero altresì essere utilizzabili per verificare e per scegliere metodi risolutivi adeguati ai problemi che si porranno alla vostra attenzione.
DA PORTARE ALL’ESAME Per casa:
Organizzare il calcolo della funzione esponenziale per passi successivi, impiegando sviluppi in serie di Taylor a 4, a 6 ed a 10 termini,
Con passi temporali di ampiezza prossima ad R fino a 4R , poi con passi di R/2 e di R/8
Illustrare brevemente i risultati in termini di precisione e rapidità di calcolo.
Organizzare similmente il calcolo di seni e coseni fino a raggiungere 4 π e 8 π .
Oscillatore armonico 1
L’esempio sviluppato per seni e coseni si trasferisce immediatamente alla descrizione del sistema dinamico chiamato “oscillatore armonico”
La realizzazione fisica elementare è rappresentata da un punto materiale dotato di massa, soggetto a forza centrale elastica
Inizialmente lo immaginiamo vincolato su una retta. Si potrà constatare che il moto deve essere piano e che opportune condizioni iniziali consentono il moto rettilineo.
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