La matematica del continuo: funzioni e limitix f(x)
La matematica del continuo: funzioni e limiti
x f(x)
Una sfida appassionante
“Piè veloce” Achille sfida la lenta tartaruga a una gara di corsa
Achille corre dieci volte più velocemente della tartaruga, quindi le dà 10 m di vantaggio
Quando Achille ha percorso 10 m, la tartaruga è ancora avanti di 1 m
Quando Achille ha percorso 1 m in più, la tartaruga è ancora avanti di 0.1 m
…
…quindi Achille non raggiungerà mai la tartaruga!
Come si spiega il paradosso?
Determinare la distanza dalla partenza del punto in cui Achille supererà la tartaruga equivale a trovare il valore della somma infinita (serie)
Se la somma di questo numero infinito di termini è infinita, ha ragione Zenone
Come si può dimostrare che la serie è convergente anziché divergente?
La tartaruga perde ogni speranza…
Moltiplichiamo ambo i membri per 10:
Sottraiamo la prima uguaglianza dalla seconda:
Otteniamo l’equazione
La cui soluzione è 100/9 = 11,11111…
La serie geometrica
La serie della tartaruga è un esempio di serie geometrica, della forma
È sufficiente, infatti, scegliere a=10, r=1/10
Se 0 < r < 1, si può trovare il valore della serie moltiplicando S per r e sottraendo Sr da S:
La serie armonica
> 1/2 > 1/2 > 1/2 > 1/2 La serie armonica è infinita e divergente
Infatti:
Due curiosità
Gregory (1671):
Eulero (1736):
Come si disegna il grafico di una funzione a variabile reale?
Occorre determinare:
Dominio della funzione
Segno della funzione
Limiti della funzione
Esempio 1: F(x) = x2 - 4
Dominio: Tutto R (il denominatore non si annulla mai)
Segno: Si risolve
Limiti: è sufficiente trovare
Esempio 2: F(x) = 1/1-x
Dominio: Il denominatore 1-x deve essere ¹ 0, quindi x ¹ 1
Segno: La funzione è positiva quando 1-x è positivo:
Limiti: si deve trovare
Esempio 3: F(x) = x/1-x
Dominio: Il denominatore 1-x deve essere ¹ 0, quindi x ¹ 1
Segno: La funzione è positiva quando x e 1-x hanno lo stesso segno:
Limiti: si deve trovare
Esempio 4: F(x) = 1- x2 / x
Dominio: Il denominatore x deve essere ¹ 0
Segno: La funzione è positiva quando x e 1-x2 hanno lo stesso segno. Risolvendo la disequazione di secondo grado, 1-x2 è positiva per -1 < x < 1. Quindi F(x) è positiva per x < -1 e 0 < x < 1.
Limiti: si deve trovare
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