Interpoloinnin käyttökohteet Vaikka korkeusmalli (DEM) muodostaa yleensä säännöllisen pisteverkon (grid), joskus korkeusdata voi olla yksittäisinä pisteinä tai esim. korkeuskäyrinä. Lisäksi monenlaista muuta aineistoa (sademäärät, väestön tiheys, lumikerroksen paksuus) voidaan kerätä pistemäisesti. Jotta tällainen data voitaisiin esittää rasterimuotoisena, täytyy käyttää interpolointia.
Interpolointiin tarvitaan
Mittauspisteet tai datapisteet
Interpolointimenetelmä
Ihanteellisessa tapauksessa datapisteet sijoittuvat alueella tasaisesti. Näin ei kuitenkaan käytännössä yleensä ole.
Interpolointimenetelmien luokittelu Interpolointi voi olla:
Globaali (ottaa huomioon kaikki käytössä olevat datapisteet)
Paikallinen (ottaa huomioon vain tietyn joukon interpoloitavan pisteen lähellä olevia datapisteitä)
Interpolointi voi olla:
Tarkka (interpoloidun pinnan arvo datapisteiden kohdalla vastaa täsmälleen datapisteiden arvoja)
Epätarkka
Interpolointi voi olla:
Deterministinen
Stokastinen (ottaen huomioon datapisteiden mahdolliset virheet myös interpoloitua pintaa kuvataan jakaumalla)
Globaali interpolointi: polynomisovitus Datapisteiden läpi sovitetaan polynomi, löydetään polynomin kertoimet ja lasketaan pinnan arvot säännöllisen pisteverkon pisteissä.
Yksinkertaisin polynomisovitus on lineaarinen:
Yleensä sovitettavat pinnat ovat kuitenkin monimutkaisempia ja tarvitaan korkeamman asteluvun polynomeja. Kolmannen asteluvun polynomisovitukseen tarvitaan 10 kerrointa ja se voidaan ilmaista:
Polynomisovituksen tapauksessa interpoloinnin tarkkuutta voidaan arvioida laskemalla sovituksen ja datapisteiden välisen virheen neliökeskiarvo
Polynomisovitus voidaan kohdistaa myös paikallisesti. Sitä käytetään esimerkiksi rasterin laskemiseksi TIN-mallin perusteella
Lineaarinen regressio Regressioanalyysiä voidaan käsitellä 1. asteen polynomisovituksen yleistyksenä. Tässä tapauksessa lasketaan jonkun riippuvaisen muuttujan arvo riippumattomien muuttujien arvojen painotettuna summana. Tässä parametrit eivät välttämättä ole samantyyppisiä.
Esimerkki: lumen ekvivalenttinen vesimäärä. Voidaan käyttää mallia:
Paikallisen regressioanalyysin tapauksessa regressiomallin parametrit vaihtelevat paikan funktiona
Paikallinen interpolointi: pistejoukon valinta Paikallisen interpoloinnin yhteydessä oleellinen askel on datapistejoukon valinta. Datapisteiden valinnassa voidaan käyttää esimerkiksi seuraavia kriteereita:
Datapistemäärän mukaan käyttäen esim. ympyrämuotoista naapurustoa
Etäisyyden mukaan (valitaan kaikki pisteet jotka ovat tiettyä etäisyyttä lähempänä)
Käytetään kvadrantti-ehtoja (tietyn kvadrantin sisällä täytyy olla tietty määrä pisteitä)
Esimerkki:
Pistejoukon valinta: esimerkki
Pistejoukon valinta: esimerkki
Interpolointi käänteisen etäisyyden mukaan Inverse distance weighted (IDW) – interpoloinnissa gridin pisteiden arvo lasketaan seuraavan kaavan mukaan:
IDW-menetelmän asteluku k määrittelee kuinka suuri on datapisteiden vaikutus eli kuinka nopeasti datapisteen vaikutus laskee.
IDW-menetelmän etuna on että interpoloitujen pisteiden arvot ovat interpoloinnissa käytettyjen datapisteiden arvojen arvoalueella
Thin plate spline - interpolointi Thin plate spline interpolointi perustuu pinnansovitukseen jossa pinnan kaarevuus minimoidaan. Toisin sanoen pinnan kaltevuuden muutokset minimoidaan. Mallina käytetään yhtälöä:
Siinä mallintaa lineaarista trendiä ja on kantafunktioiden joukko.
Yhtälön parametrit voidaan laskea jos käytössä on vähintään n + 3 datapistettä, jossa n on käytettävien kantafunktioiden määrä.
Thin plate spline menetelmän tapauksessa interpoloitujen pisteiden arvot voivat ylittää datapisteiden arvojen maksimin. Puutteena on ylilyöntien esiintyminen jyrkkien kaltevuuksien muutosten yhteydessä.
Voidaan käyttää ns. thin plate spline with tension – menetelmää ja lieventää approksimoinnin tarkkuutta.
Voidaan myös vaihdella kantafunktioiden muotoa (esim. regularized splines).
Kriging: semivariogrammi Kriging on yleisesti käytetty interpolointimenetelmä, joka antaa interpolointipisteiden lisäksi myös arvion interpoloinnin laadusta.
Kriging käyttää hyväksi ns. semivarianssia, joka kertoo datapisteiden spatiaalisesta riippuvuudesta. Semivarianssi liittyy Moran I - mittaan:
h - etäisyys
Semivariogrammi on datapisteiden esitystapa jossa yllä oleva mitta on laskettu kaikille datapistepareille.
Jos pisteiden määrä on suuri, semivariogrammi voidaan jakaa bin:eihin. Tämä voidaan tehdä etäisyyden mukaan ja tarvittaessa lisäksi myös suunnan mukaan.
Jos eri semivariogrammi käyttäytyy eri tavalla eri suunnissa, ilmiö on anisotrooppinen.
Semivariogrammin mallintaminen Semivariogrammiin sovitetaan käyrä
eli malli. Malleja on tarjolla suuri
joukko. Malleja kuvataan seuraavilla
parametreilla:
Sill
Range
nugget
Tavallinen kriging Pisteen z0 arvo löydetään tavallisen krigingin tapauksessa:
Painoarvot saadaan ratkaisemalla:
Tuloksen varianssi (osoittaa interpoloinnin laatua) voidaan löytää:
Muita kriging-menetelmän versioita Universaali kriging
Interpoloitava pinta mallinnetaan trendi + vaihteleva osuus. Ennen semivariogrammin muodostamista trendi poistetaan aineistosta. Trendi voi olla joko lineaarinen tai esim. toisen asteen polynomin mukainen. Korkeamman asteluvun polynomeja ei yleensä käytetä
Indicator kriging
Käytetään binääridataa; interpoloidut arvot ovat välillä 0…1 eli ilmaisevat todennäköisyyttä
Disjunctive kriging
Käyttää ominaisuustiedon arvoja interpoloinnissa
Comments