Linguaggi Regolari e Linguaggi Liberi Potenza espressiva degli automi
Potenza espressiva delle grammatiche
Linguaggi Regolari e Linguaggi Liberi Potenza espressiva degli automi
Potenza espressiva delle grammatiche
Linguaggi Regolari
Tutti i linguaggi che possono essere accettati da automi a stati finiti non deterministici sono detti Linguaggi Regolari
La definizione include linguaggi su tutti i possibili alfabeti finiti
Determinismo vs Non determinismo
Abbiamo visto che, tramite la costruzione dei sottoinsiemi, un qualsiasi automa non deterministico può essere trasformato in uno deterministico equivalente
Inoltre un automa deterministico può essere visto come un particolare automa non deterministico
Pertanto in realtà è superfluo dire, nella definizione di linguaggi regolari, che gli automi debbano essere non deterministici
La classe di linguaggi accettati da automi deterministici è uguale a quella dei linguaggi accettati da automi non deterministici
Potere espressivo
In questo caso si dice che i due formalismi, gli automi deterministici e non deterministici, hanno lo stesso potere espressivo
Oltre a quello degli automi deterministici, anche il formalismo delle espressioni regolari ha lo stesso potere espressivo degli automi non deterministici
Una costruzione per costruire un NFA a partire da una qualsiasi espressione regolare si vedrà nel corso di Compilatori
Linguaggi Regolari
La classe dei linguaggi regolari può essere quindi specificata equivalentemente con tre tipi diversi di formalismi:
Automi non deterministici (NFA)
Automi deterministici (DFA)
Espressioni Regolari
Questi tre formalismi hanno tutti lo stesso potere espressivo
Potere espressivo superiore
Ma tutti i linguaggi sono regolari?
La risposta è NO
Ci sono dei linguaggi che non possono essere specificati con NFA (o DFA o espressioni regolari)
I linguaggi di questo tipo sono detti non regolari
Un esempio classico
L’esempio classico di linguaggio non regolare è il seguente
L = { anbn | n 0 }
È impossibile scrivere un automa o un’espressione regolare che accetti/denoti questo linguaggio
La dimostrazione di questo enunciato è interessante e può essere trovata sulla dispensa alternativa di sintassi
Limiti degli automi
Intuitivamente il motivo è che gli automi non possono “contare”, cioè non possono implementare un contatore che possa assumere un qualsiasi valore intero (la n) in modo da accettare stringhe in cui ci sia una corrispondenza fra il numero di certi elementi e il numero di altri elementi
Potere espressivo delle grammatiche
È facile scrivere una grammatica libera dal contesto per il linguaggio visto:
S aSb |
In effetti si ha che le grammatiche libere dal contesto hanno un potere espressivo maggiore degli automi/espressioni regolari
Ciò significa più precisamente che:
Ogni linguaggio regolare può essere generato con una grammatica
Esiste almeno un linguaggio non regolare che è accettato da una grammatica
Potere Espressivo delle grammatiche
Linguaggi Regolari Universo dei linguaggi Linguaggi generati da
grammatiche libere L = { anbn | n 0 }
Potere espressivo delle grammatiche
Per mostrare la seconda parte basta usare il linguaggio { anbn | n 0 }
Per la prima parte definiamo un algoritmo che, dato un qualsiasi automa (deterministico o no), costruisce una grammatica equivalente
Algoritmo: dagli automi alle grammatiche
Input: Automa
Output: Grammatica equivalente
Costruzione dei simboli non terminali di V e dello stato iniziale:
Per ogni stato s di S costruiamo un simbolo non terminale in V
Poniamo come simbolo iniziale S della grammatica
Algoritmo: dagli automi alle grammatiche
Costruzione delle produzioni P:
Per ogni s S e per ogni a :
Se c’è nell’automa una transizione etichettata con a che dallo stato s va nello stato s’ allora inseriamo la produzione a in P
Se c’è nell’automa una transizione etichettata con a che dallo stato s va nello stato s’ e s’ F allora inseriamo una produzione a in P
Se s0 F allora inseriamo la produzione
in P
Esempio
a b c {a, b, c} {a, b, c} 0 1 2 3
Esempio
Seguendo le indicazioni dell’algoritmo otteniamo la seguente grammatica:
<0> a <0> | b <0> | c <0> | a <1>
<1> b <2>
<2> c <3> | c
<3> a <3> | b <3> | c <3> | a | b | c
Grammatiche regolari
Le grammatiche in cui le produzioni sono tutte della forma
A aB oppure
A a oppure
A
Sono chiamate Grammatiche Regolari e hanno lo stesso potere espressivo degli automi/espressioni regolari
L’algoritmo visto genera grammatiche regolari
Linguaggi liberi
Tutti i linguaggi che possono essere specificati attraverso una grammatica libera dal contesto sono detti Linguaggi Liberi
I linguaggi liberi, sappiamo dal potere espressivo, includono i linguaggi regolari più altri linguaggi non regolari come { anbn | n 0 }
Ma i linguaggi non liberi sono tutti i possibili linguaggi?
La risposta è ancora NO
Linguaggi non liberi
Esistono dei linguaggi che non possono essere generati da nessuna grammatica libera dal contesto:
L = {w c wR | w *, wR è w rovesciata}
L = {am bm cm | m 0}
...
Esistono infiniti linguaggi non liberi. Esistono infiniti linguaggi non regolari, ma liberi.
Esistono gerarchie di formalismi più potenti delle grammatiche libere dal contesto
Potere Espressivo delle grammatiche
Linguaggi Regolari Universo dei linguaggi Linguaggi generati da
grammatiche libere L = { anbn | n 0 } L = {ambmcm | m 0 }
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