Espressioni di generalità: “tutti”, “ciascuno”, “alcuni”, “qualche”, “un, nessun …
Tutti gli italiani amano il calcio
Nessun italiano odia il calcio
Qualche italiano ama il calcio
Alcuni italiani odiano il calcio
Un uomo attraversa la strada
Ciascun ospite ricevette un regalo
Espressioni di generalità/2
Le espressioni di generalità non fanno parte dei linguaggi booleani. Tuttavia, in certi casi, è possibile tradurle in un linguaggio booleano.
Consideriamo il linguaggio dell’aggressività:
“Tutti sono aggressivi con arabella” si traduce:
G(a,a) G(b,a) G(c,a)
“Qualcuno è aggressivo con arabella” si traduce:
G(a,a) G(b,a) G(c,a)
Espressioni di generalità/3
Supponiamo che il dominio (= insieme degli oggetti a cui si riferiscono i nomi) di un dato linguaggio booleano sia finito e che a1, a2, …, an siano gli oggetti che lo costituiscono (per es. in LA, arabella, bianca e carlo).
Sia P(…) una qualsiasi proposizione aperta del linguaggio booleano (per es. “… è aggressivo con arabella”).
Che P(…) è vera di tutti gli individui del dominio si può esprimere così:
P(a1) P(a2) … P(an)
Che P è vera di qualche individuo del dominio si esprime così:
P(a1) P(a2) … P(an)
Espressioni di generalità/4
Questo metodo funziona sempre, anche per casi più complessi:
Qualche piccione occupa la celletta n. 3 (la n. 3 è occupata):
O(m,3) O(d,3) O(t,3)
Tutte le cellette sono occupate:
[O(m,1) O(d,1) O(t,1)] [O(m,2) O(d,2) O(t,2)]
… [O(m,5) O(d,5) O(t,5)]
La traduzione è tanto più lunga quanto maggiore è il numero degli oggetti del dominio.
Espressioni di generalità/5
Il successo di questo metodo di traduzione dipende in modo cruciale dalle seguenti condizioni:
1) La finitezza del dominio
2) La conoscenza della sua cardinalità (= il numero di individui che costituiscono il dominio)
Immaginate una piccionaia con infinite cellette. Non è possibile tradurre la proposizione “almeno una celletta è occupata”.
Se considerassimo, oltre ai nostri tre piccioni, anche quelli di passaggio, non vi sarebbe modo di tradure “nessun piccione occupa la celletta n. 1”.
Espressioni di generalità/6
Concentriamo la nostra attenzione sulle espressioni “tutti” e “qualcuno” (e sui loro sinonimi).
Dal punto di vista sintattico, queste espressioni hanno in italiano un comportamento identico a quello dei nomi.
Dalla proposizione aperta “… è aggressivo con arabella” possiamo formare una proposizione chiusa sia riempiendo il suo spazio vuoto con “carlo”, sia riempiendolo con “qualcuno”:
Carlo è aggressivo con arabella
Qualcuno è aggressivo con arabella
Espressioni di generalità/7
Tuttavia il comportamento logico delle espressioni di generalità è molto diverso da quello dei nomi:
L’inferenza:
Carlo è aggressivo con arabella
Carlo è aggressivo con bianca
——————————————————————
Qualcuno è aggressivo sia con arabella sia con bianca
è corretta.
Ma se sostituiamo il nome “carlo” con l’espressione “qualcuno” otteniamo un’inferenza scorretta! Qualcuno Qualcuno
Linguaggi del primo ordine/1
Dunque la sintassi logica delle espressioni di generalità deve necessariamente essere diversa da quella dei nomi!
Per descrivere questa sintassi abbiamo bisogno di linguaggi più espressivi dei linguaggi booleani: i linguaggi del primo ordine.
Questi linguaggi includono, oltre a quelle dei linguaggi booleani, due nuove categorie di espressioni:
le variabili: x,y,w,z (eventualmente con sottoscritti: x2, w3, ecc.)
i quantificatori:
per ogni oggetto …
per qualche oggetto …
Linguaggi del primo ordine/2
L’espressione “per ogni oggetto …” viene chiamata quantificatore universale e viene abbreviata così:
(…)
Mentre l’espressione “per qualche oggetto …” viene chiamata quantificatore esistenziale e viene abbreviata così:
( …)
Linguaggi del primo ordine/3
Supponete di voler esprimere in un linguaggio del primo ordine che la proposizione aperta “… è aggressivo con arabella” è vera di tutti gli oggetti del dominio. Allora dovete:
1) Riempire lo spazio vuoto della proposizione aperta con una variabile a vostra scelta, per es. x
x è aggressivo con arabella
2) Riempire lo spazio vuoto del quantificatore universale “per tutti gli oggetti x” con la stessa variabile
3) per tutti gli oggetti x
4) Premettere a “x è aggressivo con arabella” l’espressione “per tutti gli oggetti x”
per tutti gli oggetti x, x è aggressivo con arabella
Linguaggi del primo ordine/4
La proposizione
per tutti gli oggetti x, x è aggressivo con arabella
che in forma abbreviata si scrive
(x) G(x,a)
ha, in italiano lo stesso significato dell’espressione
Tutti sono aggressivi con arabella
ed è vera se è solo se la proposizione aperta “…è aggressivo con arabella” è vera di tutti gli oggetti del dominio.
Linguaggi del primo ordine/5
Analogamente, per esprimere il fatto che la proposizione aperta “… è aggressivo con arabella” è vera di qualche (almno un) oggetto del dominio dovete:
1) Riempire lo spazio vuoto della proposizione aperta con una variabile a vostra scelta, per es. x
x è aggressivo con arabella
2) Riempire lo spazio vuoto del quantificatore esistenziale “per qualche oggetto x” con la stessa variabile
3) per qualche oggetto x
4) Premettere a “x è aggressivo con arabella” l’espressione “per qualche oggetto x”
per qualche oggetto x, x è aggressivo con arabella
Linguaggi del primo ordine/6
La proposizione
per qualche oggetto x, x è aggressivo con arabella
che in forma abbreviata si scrive
(x) G(x,a)
ha, in italiano lo stesso significato dell’espressione
Qualcuno è aggressivo con arabella
ed è vera se è solo se la proposizione aperta “…è aggressivo con arabella” è vera di almeno un oggetto del dominio.
Linguaggi del primo ordine/7
Chiamiamo universali le proposizioni della forma
(x) G(x,a)
e esistenziali quelle della forma
(x) G(x,a)
In un linguaggio del primo ordine le proposizioni aperte in uno o più spazi vuote possono essere chiuse senza utilizzare nomi, ma utilizzando solo i quantificatori:
… è aggressivo con ---
y) (x (y) variabile vincolata variabile libera (x) variabile vincolata
Linguaggi del primo ordine/8
Una proposizione aperta in due spazi vuoti come
x è aggressivo con y
è vera o falsa di coppie (ordinate) di oggetti del dominio.
La proposizione:
(y)(x è aggressivo con y)
Ottenuta “vincolando” la variabile libera y con il quantificatore esistenziale, è una proposizione aperta in uno spazio vuoto ed è dunque vera o falsa di singoli oggetti del dominio.
Linguaggi del primo ordine/9
Carlo Arabella Bianca In questo stato la proposizione aperta “x è aggressivo con y” è vera delle seguenti coppie di oggetti del dominio:
, , Mentre la proposizione aperta “( y)(y è aggressivo con x)”
è vera solo di Carlo. La proposizione chiusa
( x)( y)(y è aggressivo con x)
è vera o falsa in questo stato?
Linguaggi del primo ordine/10
Siamo a questo punto in grado di definire i linguaggi del primo ordine (LPO). Il vocabolario di un LPO comprenderà:
Un insieme di nomi (che può essere vuoto)
Un insieme infinito di variabili, x,y,w,z (eventualmente con sottoscritti)
Un insieme non vuoto di proposizioni aperte primitive (dette anche predicati primitivi) ciascuna delle quali comprende un numero determinato di spazi vuoti.
Un insieme di parole logiche che comprende gli operatori booleani (, , , ) e i due quantificatori (…), (…)
Le due parentesi tonde: (,).
Linguaggi del primo ordine/11
P è una proposizione atomica di un LPO se e solo se P è ottenuta da una proposizione aperta primitiva del LPO riempiendo ciascuno dei suoi spazi vuoti con una variiabile o con un nome del LPO
Ogni proposizione atomica di L è una proposizione di L
Se Q è una proposizione di L, allora lo è anche Q
Se Q e R sono proposizioni di L, allora lo sono anche (QR), (QR), (QR).
Se Q è una proposizione di L, allora lo sono anche (v)Q e (v)Q
Nient’altro è una proposizione di L.
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