Momento angolare di un punto materiale Un punto materiale di massa m si trova nel punto A e si muove sul piano xy con un momento (o quantità di moto) p. Rispetto all’origine O, esso ha un momento angolare ( o della quantità di moto): Dimensioni nel sistema SI
Momento angolare di un punto materiale Un punto materiale di massa m si trova nel punto A e si muove sul piano xy con un momento (o quantità di moto) p. Rispetto all’origine O, esso ha un momento angolare ( o della quantità di moto): Dimensioni nel sistema SI
Resnick,12.6
Ricordiamo che il momento lineare (o quantità di moto) e il principio della sua conservazione sono molto importanti.
Essi ci permettono per esempio di prevedere gli effetti di collisione tra due auto senza entrare nel dettaglio della dinamica dell’urto. Il momento angolare è la controparte angolare del momento lineare.
Dimensioni: 1J=kg.m2.s-2= N.m
Fa senso parlare di momento angolare solo in riferimento ad un “polo”, o origine O, come in queste figure: cambiando l’origine, cambia il momento angolare, dato che cambia r.
Esempio: moto circolare di un punto materiale Approssimativamente la terra si muove attorno al sole di moto circolare uniforme.e l’origine delle coordinate è posto nel sole, quanto vale il momento angolare della terra? dati
Vedi es 12.10,Ohanian
raggio r e velocità v sono perpendicolari
regola mano destra per il verso Risultato:L=2,7.1040kg.m2/s
In pratica, moto del cm della terra attorno al cm del sole.
Osservazione: in questo caso il mom. ang . è costante: r,m,v sono costanti. Non è più cosi se il “polo” o origine viene spostata: allora r cambia.
Ma se il punto materiale si muove attorno ad un centro di forza, verso cui punta la forza centrale che lo fa girare
Come nel caso della rotazione della terra attorno al sole, allora il mom angolare è costante.
In genere il momento angolare di un punto materiale varia in direzione istante per istante.
Nel caso particolare in cui il punto materiale si muove su un piano, che contiene il centro di rotazione O, allora r e v sono coplanari ed l è sempre perpendicolare al piano.
Per il caso di moto circolare se il momento angolare è calcolato rispetto ad al centro del cerchio si ha : Momento angolare e velocità angolare Nel caso del moto circolare la velocità angolare è un vettore diretto come il momento angolare. La velocità lineare è r
Il momento angolare risultante di un sistema di due particelle Due particelle, viste dall’alto, si muovono su traiettorie orizzontali, con momento lineare (o quantità di moto) costante. La particella 1 con momento costante p1 =5,0kg.m/s transita a 2m di distanza minima dal punto O. La particella 2 con p2=2.0kg.m/s, transita a distanza minima da O di 4,0m. Calcolare il momento angolare risultante o netto L del sistema delle due particelle.
Resnick 12.4 Vedi anche Ohanian 12.24
Se le dita si piegano da r verso p, l è diretto come il pollice. r2 è diretto in senso orario. l è negativo r1 ruota in senso antiorario.l è positivo
Resnick 12.4
Prendiamo i versi di p1 e p2 come sono sulla figura
Il momento angolare è un vettore, e per il momento angolare vale il principio di sovrapposizione
Esercizio sul verso del prodotto vettoriale, e sul segno dei momenti angolari.
Il manubrio Due punti materiali di massa m sono collegati da un’asta rigida di massa trascurabile e lunghezza 2r .Il corpo ruota con velocità angolare attorno ad un asse perpendicolare all’asta e passante per il suo centro. Si trovi il momento angolare L del sistema
Ohanian 12.11
Si supponga che l’asta di questo manubrio sia saldata all’asse di rotazione, inclinata di un angolo ,come mostrato in figura.
Il manubrio ruota con velocità angolare attorno all’asse, che è sostenuto da cuscinetti.si trovi il momento angolare Momento angolare rispetto ad un asse di rotazione
Ohanian 12.12
È intuitivamente evidente che senza i cuscinetti verdi che mantengono l’asse in un orientamento fisso,il manubrio non continuerebbe a ruotare attorno a tale asse inclinato. All’istante indicato dalla figura la forza centripeta necessaria per mantenere la massa superiore in moto circolare è orientata verso sinistra, e di conseguenza l’asse esercita una spinta verso destra sul cuscinetto superiore. Contemporaneamente l’asse esrcita una spinta verso sinistra sul cuscinetto inferiore. Queste spinte dell’asse sui suoi cuscinetti rappresentano uno squilibrio dinamico del corpo rotante.
Le spinte sono associate alla rotazione e cessano quando cessa la rotazione. Lo squilibrio dinamico si produce quando il corpo non è simmetrico rispetto l’asse di rotazione. Nel caso in questione supporremo i cuscinetti forti e senza attrito,in modo che la rotazione possa continuare indefinitamente
osservazione È intuitivamente evidente che senza i cuscinetti verdi che mantengono l’asse in un orientamento fisso,il manubrio non continuerebbe a ruotare attorno a tale asse inclinato. All’istante indicato dalla figura la forza centripeta necessaria per mantenere la massa superiore in moto circolare è orientata verso sinistra, e di conseguenza l’asse esercita una spinta verso destra sul cuscinetto superiore. Contemporaneamente l’asse esrcita una spinta verso sinistra sul cuscinetto inferiore. Queste spinte dell’asse sui suoi cuscinetti rappresentano uno squilibrio dinamico del corpo rotante.
Le spinte sono associate alla rotazione e cessano quando cessa la rotazione. Lo squilibrio dinamico si produce quando il corpo non è simmetrico rispetto l’asse di rotazione. Nel caso in questione supporremo i cuscinetti forti e senza attrito,in modo che la rotazione possa continuare indefinitamente
Calcolo del momento angolare
Soluzione problema 12.12 Ohanian
Calcolo velocità lineare e quantità di moto,o momento lineare CHE è tangente alla circonferenza e perpendicolare A L VETTORE POSIZIONE
Calcolo dei momenti angolari, o momenti della quantità di moto.Risultano paralleli tr loro,giacciono sul piano dell’asta e dell’asse di rotazione ed essendo perpendicolari all’asrta fanno un angolo 90 – theta con l’asse di rotazione
Il momento angolare totale è la somma dei due momenti angolari
All’istante indicato, l’asta giace nel piano zy.Anche il momento angolare giace sul piano zy.
Seconda legge di Newton in forma angolare per un punto materiale. La somma vettoriale di tutti i momenti delle forze che agiscono su una particella è uguale alla derivata rispetto al tempo del momento angolare della particella La somma vettoriale di tutte le forze che agiscono su una particella è uguale alla derivata rispetto al tempo del momento lineare della particella
Resnick 12.7
ATTENZIONE: i vettori momento meccanico e angolare devono essere definiti rispetto la stessa origine o polo
Dimostrazione II legge di Newton in forma angolare
Resnick 12.7
Esempio Un pinguino di massa m cade partendo da fermo da un punto A a distanza orizzontale D dall’origine O del sistema di coordinate xyz
Quale è il momento angolare rispetto ad O del pinguino che cade?
Quale momento meccanico esercita rispetto l’origine O la forza di gravità Fg che agisce sul pinguino?
(trattiano il pinguino come un punto materiale)
Esempio 12.5 dal Resnick.
Il momento angolare di una particella è dato
In questo caso il pinguino cade verticalmente sotto la forza di gravità con accelerazione costante g. Ha quindi una velocità diretta come l’asse y,nel verso negativo, che vale ad ogni istante v=gt.
Sin phi = D/r da cui il momento angolare = Dmgt
Il momento angolare è diretto come l’asse z,entrante nella diap. Il suo modulo varia con il tempo. Se le dita si piegano da r verso p, l è diretto come il pollice.In questo caso r punta verso il pinguino e la velocità è discorde con l’asse y Il momento della forza è diretto come l’asse z,entrante nella diap. Verifica seconda legge di Newton
Resnick 12.5
Definizione momento angolare
Calcolo nel nostro caso
Definizione momento meccanico
Calcolo nel nostro caso
Verifica seconda legge Newton
Forze centrali Se il momento meccanico è nullo allora il momento angolare è costante (particella libera) Quando un corpo si muove sotto l’azione di una forza centrale, il momento angolare relativamente al centro di forza è una costante del moto Se r ed F sono paralleli , la linea di azione di F passa sempre per O, che è il centro delle forze. F è una forza centrale. Il momento angolare rispetto al centro delle forze è costante: si conserva
Alonso Fynn?
Forze assiali Le forze assiali sono forze la cui linea di azione passa sempre per un asse fisso.
Una forza del tipo F=Av , dove A è un vettore costante, e v la velocità della particella è un caso particolare di forza assiale.
Dare l’espressione della velocità angolare e del momento angolare di una particella soggetta ad F , nel caso in cui A sia diretto come l’asse z ,scelto come asse di rotazione e v giaccia sul piano xy. Descrivere la traiettoria della particella.
Forze assiali sono forze la cui linea di azione passa sempre per un asse fisso.
Vedi Alonso Finn, pagina 118. Per l’espressione dell’accelerazione vedi
Forze di questo tipo originano i tifoni.
Il moto elicoidale è una importante variazione del moto circolare.Il moto elicoidale risulta quando un moto circolare è combinato con una traslazione uniforme in direzione perpendicolare al piano del cerchio. Soluzione RICHIAMI
Per il moto circolare vale per i moduli la:
Sapendo che è diretto come l’ase z, se la circonferenza giace sul piano xy,e che a e v sono ortogonali si ha
Vedi Alonso 8.13, pag 124
Si definisce il sistema di riferimento. Momento angolare e meccanico sono misurati rispetto l’origine.
È perpendicolare al piano OPQ definito da r ed F. Quindi deve stare nel piano xy con la componente in z=0.
Comments