EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DE ÁREAS. APROXIMACIONES A SU SOLUCIÓN
El objetivo es calcular el área que encierra una curva dada por una función positiva
y = f(x) el eje X, y las rectas x = a, x = b.
Tomaremos como ejemplo, el problema de calcular el área que hay entre la función y = x2 y el eje X, desde x = a hasta x = b.
SIMBÓLICO: Por un lado, es bien sabido que
NUMÉRICO: Por otro lado, si por ejemplo consideramos a=0, b=2, podemos representar de manera gráfica el problema como sigue:
Pero, ¿cómo se ha llegado al cálculo exácto del área, es decir, al valor 2.666667?
Como sabemos calcular el área de un rectángulo (base x altura), consideramos, como primera aproximación, el área de una caja o rectángulo que tiene como base todo el intervalo de integración [0, 2], y de altura tomamos:
el menor valor de y= x2 en [0,2], es decir, 02=0; entonces el área del rectángulo es 2 x 0 = 0 (suma de Riemann inferior). Este valor está siempre por debajo del valor real del área.
el mayor valor de y= x2 en [0,2], es decir, 22=4; así el área es 2 x 4 = 8 (suma de Riemann superior). Como este rectángulo encierra toda la gráfica, el valor de su área está siempre por encima del área que queremos calcular.
Sin embargo, aún podemos refinar más. Como una segunda aproximación, dividimos el intervalo [0, 2] en dos subintervalos, [0, 1] y [1, 2], y volvemos a hacer lo mismo en cada uno de ellos, esta vez sumando las áreas de dos rectángulos. Así, tenemos:
los valores menores de y= x2 en los intervalos son 02=0 y 12=1; así que el área es (1x0)+(1x1)=1 (suma inferior). Este valor siempre estará por debajo del valor real del área.
los valores mayores de y= x2 son 12=1 y 22=4; así que el área es (1x1)+(1x4)=5 (suma superior). Este valor siempre estará por encima del valor real del área.
De esta forma, estamos acotando. A medida que se aumente el número de subintervalos el área correspondiente a la suma inferior y a la superior se irán acercando.
Si la función es suficientemente buena, la distancia entre ambas aproximaciones tiende a 0, y entonces el área entre la función, el eje X y las rectas x= a, x = b será el límite de estas dos aproximaciones (una por arriba y otra por abajo).
A medida que aumenta el número de puntos de la partición que tomamos para aproximar el área, el error que se produce cada vez es menor, tanto para la suma de Riemann superior como para la inferior.
Método SIMBÓLICO:
Da la solución exacta
Proporciona una fórmula que es válida para todo a y para todo b
Sin embargo, puede ser difícil calcular esa primitiva
Método NUMÉRICO:
Da la solución aproximada, aunque estas aproximaciones pueden ser tan buenas como queramos
Hay que repetir los cálculos según cambian a y b
Sin embargo, es muy fácil de calcular para cualquier función (sólo se necesita evaluar)
Comments