L’inferenza statistica può essere definita come un insieme di metodi, basati sulla teoria della probabilità, atti a condurre lo sperimen-tatore a conclusioni plausibili sulla variabile casuale associata ad una particolare caratteris-tica di una popolazione, rilevata mediante l’osservazione di un campione di elementi della popolazione stessa;
Secondo l’impostazione classica, la teoria dell’inferenza statistica si sviluppa lungo due direttrici:
teoria della stima di parametri;
teoria della verifica di ipotesi.
stima di parametri
Uno stimatore (t) è una funzione dei valori osservati sul campione t(X1,X2,…,Xn), utiliz-zato per la stima di un parametro (general-mente incognito) di una popolazione e che (possibilmente) rispetta una serie di carat-teristiche;
quando il metodo di stima conduce ad un unico valore per il parametro in oggetto, si parla di stima puntuale;
quando il metodo di stima conduce ad un intervallo di valori, all’interno dei quali si suppone che si trovi con una certa probabilità il valore vero del parametro, si parla di stima intervallare.
“verifica di ipotesi”
Le teorie non sono mai verificabili, Popper (1934) Esempio: Sia X1,X2,…,Xn un campione casuale estratto da una popolazione normale con media incognita , possiamo formulare l’ipotesi che la media di tale popolazione sia 12; formalmente Un’ipotesi statistica è una asserzione o supposizione sulla distribuzione di una o più variabili casuali, si indica con la lettera H.
“verifica di ipotesi”
Le teorie non sono mai verificabili, Popper (1934) Generalmente si mettono a confronto due ipotesi, espresse in modo tale da essere contrarie tra loro: a) Ipotesi H0. Generalmente, è l’ipotesi che costituisce l’oggetto della verifica; specifica i valori dei parametri della popolazione da cui si suppone provenga il campione (o i campio-ni) in esame. Stabilisce che i valori ottenuti nel campione sono puramente casuali.
Formalmente si esprime con: in cui indica il parametro della popolazione e 0 il valore che ci si attende.
“verifica di ipotesi”
Le teorie non sono mai verificabili, Popper (1934) L’ipotesi alternativa può essere bidirezionale, ed in tal caso si esprime semplicemente come oppure può essere monodirezionale b) Ipotesi H1. È l’ipotesi alternativa, solita-mente l’ipotesi di ricerca secondo la quale i risultati ottenuti non sono casuali ma sono spiegabili secondo una qualche regola o teoria.
esempio 1
Si vuole stabilire, attraverso un esperimento, se una moneta sia truccata o meno. Indicheremo con p la probabilità di ottenere testa in un lancio. Prima di eseguire l’esperimento dobbiamo formulare le due ipotesi alternative relativamente al parametro p: la moneta non è truccata la moneta è truccata
test statistici e regole decisionali
ogni test statistico divide lo spazio campio-nario in due sottoinsiemi complementari: Un test statistico è una v.c. che può assu-mere valori compresi in un particolare in-sieme, che costituisce lo spazio campiona-rio del test, secondo una determinata distri-buzione di probabilità; 1) la regione di accettazione di H0
2) la regione di rifiuto di H0 in base alla regione in cui andrà a cadere il valore campionario t, si prenderà una decisione sull’ipotesi H0.
test statistici e regole decisionali
Dal punto di vista decisionale, la suddivi-sione dello spazio campionario in una regione di accettazione ed una di rifiuto porta a quattro soluzioni possibili.
test statistici e regole decisionali
Dal punto di vista decisionale, la suddivi-sione dello spazio campionario in una regione di accettazione ed una di rifiuto porta a quattro soluzioni possibili.
test statistici e regole decisionali
Dal punto di vista decisionale, la suddivi-sione dello spazio campionario in una regione di accettazione ed una di rifiuto porta a quattro soluzioni possibili.
errori
All’errore di primo tipo si attribuisce un valore piccolo fissato a priori, generalmen-te può essere 0,05, 0,01 oppure 0,001;
tale valore rappresenta la probabilità di respingere l’ipotesi H0 quando è vera. La probabilità dell’errore di secondo tipo non viene fissata a priori ma dipende da e dal valore del parametro ;
il valore rappresenta la probabilità di non respingere l’ipotesi H0 quando è falsa. ATTENZIONE
Dato un campione di numerosità n, se di-minuisce aumenta e viceversa.
errori
Errori di primo e secondo tipo, e potenza del test per ipotesi monodirezionale destra.
tipi di test
1) Test ad una coda. Il valore del parametro è minore o maggiore di un valore specificato 0 2) Test a due code. Il valore del parametro è interno o esterno ad un intervallo delimitato da due valori specificati 1 e 2
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