Wprowadzenie
Cechy charakterystyczne fraktali
Zastosowanie fraktali
Wymiar fraktalny D
Klasyczne fraktale
Iteracyjny system funkcji (IFS)
L-system
Zbiory Julii i Mandelbrota
Ruchy Browna
Wirtualna rzeczywistość
Wprowadzenie
Fraktale są formami geometrycznymi, zawartymi w dziale matematyki, który opisuje i analizuje nieregularności oraz złożoność struktur rzeczywistego świata.
Twórcą i odkrywcą tej geometrii jest, urodzony w 1924 roku w Warszawie, Benoit Mandelbrot.
Nazwa fraktale pochodzi od łacińskiego frangere – łamać.
Matematyka definiuje fraktale jako zwarte podzbiory topologicznej przestrzeni metrycznej S, charakteryzowane przez wymiar fraktalny D i miarę fraktalną µ.
Cechy charakterystyczne fraktali
Samopodobieństwo
Symetria
Wymiar fraktalny nie jest liczbą całkowitą
Brak jednoznacznego kształtu
Nie są określone wzorem matematycznym, tylko zależnością rekurencyjną
Zastosowanie fraktali
Badania nieregularności fraktali
Opis procesów chaotycznych zachodzących w układach dynamicznych
Przetwarzanie i kodowanie obrazów cyfrowych – kompresja fraktalna
Modelowanie tworów naturalnych dla celów realistycznej grafiki komputerowej
Badanie struktury łańcuchów DNA
Badanie samopodobnych struktur harmonicznych występujących w muzyce
Wymiar fraktalny D
Wymiar fraktalny Hausdorfa-Besicovitcha D jest miarą chropowatości i nie musi być liczbą całkowitą.
Wymiarem Hausdorffa-Besicovitcha D(F) zbioru F nazywa się taką liczbę d0, dla której granica ma wartość skończoną i różną od zera, przy czym inf oznacza kres dolny, zaś diam A średnicę kuli A. B oznacza rodzinę kul potrzebnych do pokrycia danego zbioru F. Symbol oznacza zbiór, którego elementami są wszystkie możliwe rodziny kul B. oznacza podzbiór zbioru zawierający rodziny kul, w których skład wchodzą kule o średnicy nie większej niż . Symbol d oznacza pojemność (wymiar pojemnościowy) obiektu geometrycznego.
Klasyczne fraktale
Zbiór (kurz) Cantora
Każdy odcinek domknięty dzieli się na trzy równe części i usuwa się z niego część środkową bez jej brzegów.
Zbiór ten składa się z nieprzeliczalnej ilości rozłącznych punktów i ma długość równą zero.
Klasyczne fraktale
Trójkąt Sierpińskiego
Każdy trójkąt równoboczny jest dzielony na cztery mniejsze, a następnie usuwany jest środkowy trójkąt.
Jego pole powierzchni jest równe 0.
Klasyczne fraktale
Dywan Sierpińskiego
Każdy kwadrat dzieli się na dziewięć jednakowych kwadratów, a następnie usuwa się kwadrat znajdujący się w środku.
Pole powierzchnie dywanu Sierpińskiego jest równe 0.
Klasyczne fraktale
Kostka (gąbka) Mengera
Jest to trójwymiarowa wersja dywanu Sierpińskiego.
Ściany dowolnego sześcianu dzieli się na 9 kwadratów przystających. Następnie wiercone są dziury o przekroju kwadratowym, zaczynając od środkowego kwadratu, na wylot, do środkowego kwadratu na przeciwnej ścianie. Objętość kostki jest równa 0.
Klasyczne fraktale
Piramida Sierpińskiego
Piramida jest trójwymiarową wersją trójkąta Sierpińskiego. Odcinkami łączy się środki krawędzi czworościanu. Następnie usuwa się bryłę, której krawędziami są te odcinki.
Objętość piramidy jest równa 0.
Klasyczne fraktale
Krzywa Kocha
Krzywa ta powstaje z podzielenia jednostkowego odcinka na trzy równe części. Środkowa część zostaje zastąpiona przez dwa z czterech odcinków, które tworzą tą krzywą.
Krzywa ta ma nieskończoną długość.
Klasyczne fraktale
Płatek Kocha
Figura, której brzegiem jest krzywa Kocha, nazywana jest płatkiem Kocha. W pierwszym kroku rysuje się trójkąt równoboczny o długości boku np. 1. Każdy bok trójkąta dzielony jest na trzy równe części. Następnie dokleja się do części środkowej trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym.
Iteracyjny system funkcji (IFS)
Definicja IFS (Iterated Function System):
Niech w oznacza odwzorowanie zwężające przestrzeń (X, ) w siebie.
Układem (systemem) iterowanych odwzorowań nazywa się zbiór k odwzorowań zwężających wi (i=1, 2, 3,...,k), który oznacza się przez
{X; w1, w2, w3, ..., wk}.
Przekształceniem wk jest przekształcenie afiniczne, takie jak przesunięcie, obrót lub skalowanie.
Iteracyjny system funkcji (IFS)
Z uwagi na powolne działanie algorytmu (IFS) często stosuje się algorytm probabilistyczny (IFSP).
Pierwszym krokiem przy tworzeniu układu odwzorowań, jest przyjęcie za początkowy kształt dowolnej prostej figury, takiej jak odcinek czy kwadrat, i poszukanie odpowiednich transformacji, którym należy ją poddać, by w iteracyjnym procesie odwzorowywania przekształcić ją do wymaganego kształtu.
Ważna jest kolejność wykonywania przekształceń – najpierw wykonuje się skalowanie, następnie obrót i na końcu translacje.
Iteracyjny system funkcji (IFS)
1=2=0; 1=2=0; 1=2=0;
t1=0, t2= ; t1=1/4, t2=0; t1=-1/4, t2=0. Tworzenie trójkąta Sierpińskiego w oparciu o układy iterowanych odwzorowań.
w1 : 1=2=1/2;
w2 : 1=2=1/2;
w3 : 1=2=1/2;
L - System
Biolodzy definiują kształt danego organizmu jako pewną funkcję czasu.
L-system jest formalnym językiem opisu wzrostu roślin wprowadzonym w 1968 roku przez Aristida Lindenmayera.
Rośliny podzielone zostały na dwie klasy: proste, tzn. składające się z łańcucha komórek, i rozgałęzione.
L-system scharakteryzowany jest poprzez aksjomat oraz reguły.
L - System
Jeśli podziałowi ulega komórka, której powstanie spowodowało rozrost w kierunku lewym (prawym), wówczas jej potomkami będą: mała komórka powodująca rozrost w lewo (prawo) oraz większa komórka powodująca rozrost w prawo (lewo). Kolejne kroki podziałów komórkowych glonu anabaena catenula.
L - System
Jeżeli aksjomatem (pierwszą z istniejących komórek) będzie , to w kolejnych podziałach powstaną następujące łańcuchy komórek: Podziałami komórek glonu rządzą następujące reguły: Przyjąć można następujące oznaczenia dla podlegających podziałowi komórek glonu:
- mała komórka powodująca rozwój w lewo, - mała, powodująca rozwój w prawo, - duża, przyczyniająca się do rozwoju w lewo oraz - duża przyczyniająca się do rozwoju w prawo. oznacza relację podziału komórki.
Comments