Nel seguito, si definiranno i principi che permettono di individuare la distribuzione di pressioni interstiziali nel continuo fluido di porosità, in condizioni idrostatiche, di flusso stazionario (che si ripete identicamente nel tempo) e transitorio (variabile nel tempo).
Tenuto conto del principio delle tensioni efficaci di Terzaghi: Geotecnica Fascicolo 4/* = s s’ + u la conoscenza delle e delle u permetterà di individuare il regime di tensione efficaci (): ossia:
Nel seguito, si definiranno i principi che permettono di individuare la distribuzione di pressioni interstiziali nel continuo fluido di porosità, in condizioni idrostatiche, di flusso stazionario (che si ripete identicamente nel tempo) e transitorio (variabile nel tempo).
Tenuto conto del principio delle tensioni efficaci di Terzaghi: Geotecnica Fascicolo 4/* = s s’ + u la conoscenza delle e delle u permetterà di individuare il regime di tensione efficaci (): ossia:
DI VALUTARE LO STATO DI TENSIONE DA CUI HA ORIGINE LA RISPOSTA MECCANICA DEI TERRENI = s’ s - u
Per un elemento di volume fluido di peso unitario i termini energetici possono essere espressi sotto forma di altezze:
è la quota geometrica ed è misurata rispetto ad un piano arbitrario di riferimento;
u/w è l’altezza piezometrica ed è misurata in termini di pressioni relative (ossia, uatm= 0), w è il peso specifico del fluido (tipicamente acqua);
v2/2g è l’altezza cinetica, con v velocità con cui si muove il volume elementare e g accelerazione di gravità;
h è la quota piezometrica = + u/w
H = + u/w + v2/2g è il carico idraulico
zA uA vA zB uB vB Per un liquido perfetto e incomprimibile in moto stazionario:
A + uA/w + vA2/2g= B + uB/w + vB2/2g Geotecnica Fascicolo 4/* h H zA vA2/2g uA/gw z=0 vA A
LA VELOCITÀ DELL’ACQUA NEI TERRENI È DELL’ORDINE DI 10-2 10-12 m/s. PERTANTO L’ALTEZZA CINETICA È DELL’ORDINE DI 10-5 10-25 m.
Senza commettere errori di rilevo si può assumere che l’energia associata ad una particella liquida sia rappresentata da: Nei liquidi reali si verificano perdite di carico per effetto delle resistenze al moto.
Le resistenze al moto di filtrazione nei mezzi porosi sono elevate ed aumentano al diminuire delle dimensioni dei pori. La perdita di carico per unità di lunghezza (o gradiente idraulico) è: Geotecnica Fascicolo 4/*
Acqua in quiete
(Condizioni idrostatiche) In condizioni idrostatiche vale la legge di Stevino: La velocità v è nulla, la h è costante ed in modo del tutto rigoroso vale la relazione: ossia: D’altra parte in condizioni idrostatiche la zw [profondità misurata a partire dal punto con pressione dell’acqua nulla (cioè, dal pelo libero della falda idrica)] è sempre pari a (h-).
Il peso specifico dell’acqua si considera in genere costante e pari a 1 t/m3 (1 g/cm3; 10 kN/m3). piano = 0 A A B uA/w hA B uB/w hB zw u w Geotecnica Fascicolo 4/*
Al di sopra del pelo libero della falda si ha una zona nella quale l’acqua risale per capillarità (e quindi ha u<0). Nei terreni il fenomeno è complesso perché:
i canalicoli capillari hanno dimensioni variabili;
le vicissitudini idrauliche del deposito possono essere molto complesse;
la percolazione di acque di pioggia e l’evaporazione modificano di continuo le condizioni. Terreno hc (cm)
Sabbia grossa 2-5
Sabbia media 12-35
Sabbia fine 35-70
Limo 70-150
Argilla 200-400 e oltre Altezze di risalita capillare in terreni naturali
(Silin-Beckchurin, 1958) IL PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI DI TERZAGHI È VALIDO NEL CASO DI TERRENI SATURI D’ACQUA.
IN PARTE DELLE ZONE DI RISALITA CAPILLARE E SUPERIORMENTE, DOVE I TERRENI SONO PARZIALMENTE SATURI, IL PRINCIPIO NON VALE: OCCORRE INTRODURRE ULTERIORI VARIABILI DI STATO TENSIONALE ED UN APPROCCIO PER TERRENI NON SATURI
(NON TRATTATO NEL CORSO) Geotecnica Fascicolo 4/*
Acqua in moto
(Legge di Darcy) Nel 1856, valutando le portate di acqua che attraversavano filtri verticali di sabbia, Darcy trovò la famosa legge:
Q = kA(h1 – h2)/L Geotecnica Fascicolo 4/*
La legge che regola il flusso dell’acqua (o altro liquido) nei terreni può essere riferita al semplice schema in figura: k = permeabilità [LT-1];
Q = portata [L3T-1];
h= salto energetico [L];
L = spessore del campione (percorso di filtrazione) [L];
A = sezione trasversale del campione [L2];
j = h/L = cadente piezometrica [-];
q = velocità di filtrazione [LT-1]. immissione Q eccesso di alimentazione h L A B A uA/w hA B uB/w hB Legge empirica di Hazen: k = 100 150 (D10)2 [cm/s]
due terreni a diversa granulometria possono avere permeabilità che differiscono di molti ordini di grandezza
k diminuisce sensibilmente in caso di presenza, anche minima, di materiale fine Geotecnica Fascicolo 4/*
Argilla sovraconsolidata fessurata Argilla omogenea in falda Limo Sabbia molto fine Sabbia pulita – Sabbia e ghiaia Ghiaia pulita tipo di terreno 10-8 – 10-4 < 10-9 10-8 – 10-6 10-6 – 10-4 10-5 – 10-2 10-2 – 1 k (m/s) Geotecnica Fascicolo 4/*
La legge di Darcy può essere estesa al flusso attraverso una colonna inclinata di materiale poroso:
Q = kA(hA – hB)/L
Geotecnica Fascicolo 4/* L Dh hA zA uA/gw z=0 hB uB/gw zB A B
Q = kADh/L
q = Q/A = kj
q, velocità di filtrazione, rappresenta la velocità media che il fluido avrebbe se attraversasse l’intera sezione di area A.
È quindi una velocità fittizia.
In realtà la velocità media del fluido si ottiene dividendo la portata per l’effettiva sezione di efflusso A*:
[con n si indica la porosità del terreno]
Geotecnica Fascicolo 4/*
Determinazione sperimentale del coefficiente di permeabilità Prove a carico costante
Prove a carico variabile
h h1 h2 Geotecnica Fascicolo 4/*
Equazione di continuità per il flusso stazionario dy dx dz x z y Geotecnica Fascicolo 4/*
La legge di Darcy può essere generalizzata.
In un mezzo poroso saturo ed isotropo nei confronti della permeabilità essa si scrive: isopiezica (h1
Utilizzando la scrittura in forma scalare della legge di Darcy generalizzata ed ipotizzando che il mezzo sia anche omogeneo nei confronti della permeabilità si ricava: perciò in un mezzo isotropo ed omogeneo si ha: La [1] è l’EQUAZIONE DI LAPLACE, modello matematico dei moti di filtrazione in condizioni stazionarie in mezzi omogenei ed isotropi. Geotecnica Fascicolo 4/*
Le equazioni differenziali alle derivate parziali, come quella di Laplace, descrivono quello che accade in un punto del dominio nel quale si svolge un dato fenomeno (filtrazione, nel caso dell’equazione di Laplace). Tali equazioni sono i modelli matematici di una classe di fenomeni e non contengono in sé alcuna informazione su un problema specifico della classe.
Un’equazione differenziale ammette infatti infinite soluzioni. Per ottenere la soluzione che riguarda un caso particolare bisogna fornire altre relazioni (condizioni al contorno, nel caso dell’equazione di Laplace) Geotecnica Fascicolo 4/*
La legge di Darcy può essere ulteriormente generalizzata al mezzo non omogeneo ed anisotropo: Da questo caso si possono far discendere quelli di mezzo non omogeneo ed anisotropo con x, y e z direzioni principali di permeabilità: e di mezzo non omogeneo ed isotropo, per cui si ha: Ad ognuno di questi casi corrisponde una diversa equazione del moto di filtrazione in condizioni stazionarie, che si ottiene sviluppando l’equazione di continuità. Geotecnica Fascicolo 4/*
Le costanti c (= cadente piezometrica) e d vanno specializzate caso per caso, in funzione delle condizioni idrauliche al contorno.
Inoltre, essendo: FLUSSO STAZIONARIO
moto unidirezionale Nei caso di flusso unidirezionale l’equazione indicata trova una soluzione in forma chiusa. Infatti, detta z la direzione del flusso essa si specializza in: in cui varia linearmente con z, anche la u(z) è lineare: Ovviamente, anche le costanti c e d vanno specializzate in funzione delle condizioni idrauliche al contorno. Nel caso in figura: h a A B hA hB z L Geotecnica Fascicolo 4/*
h A B hB z h hA a Geotecnica Fascicolo 4/*
h A B z u uB w w a Geotecnica Fascicolo 4/* uA
Le tensioni efficaci si annullano quando: pertanto: SIFONAMENTO h A B z u, z uB z u a uA Geotecnica Fascicolo 4/*
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