Esercitazioni di Statistica con Matlab Dott. Orietta Nicolis fttp:\ingegneria.unibg.itDalmine, 26 Maggio 2004
Esercitazioni di Statistica con Matlab Dott. Orietta Nicolis fttp:\ingegneria.unibg.it
Dalmine, 26 Maggio 2004
TEST D’IPOTESI
Formulazione delle ipotesi;
Determinazione statistica test;
Decisione (ad un livello di significatività)
In matalb,
ztest ztest2 ttest ttest2
Test d’ipotesi per la media
[h, sig, ci, zval]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)
Input:
x =vettore delle osservazioni del campione
m=ipotesi nulla sulla media
sigma=dev. std. nota della popolazione
alpha =livello di significatività
tail = specifica l’ipotesi alternativa
Output:
h = se h=1 rifiuto H0, se h=0, accetto H0.
zval = valore della statistica test.
ci =intervallo di confidenza per la media
sig = la prob. che il valore di z possa essere più grande, sotto l’ipotesi nulla (p-value).
Esempio
Si genera un campione di 50 numeri casuali da una distribuzione normale con media 2 e deviazione standard 1. Naturalmente la media campionaria e quella teorica sono diverse tra loro. Si vuole verificare che tale differenza non è significativa.
Probabilità dell’errore di I e II specie e potenza
Potenza del test
Esempio
30 3 5 7 15 fi Totale 144 135 143 138 Xi Un campione indipendente di 30 unità rilevate su un carattere X, normalmente distribuito, ha dato il seguente risultato.
a) Verificare se la media m della popolazione può essere 140, con α fissato al livello del 5%, contro un’ipotesi alternativa che sia minore.
b) Posto σ = 3,3 costruire e rappresentare graficamente la funzione di potenza per i seguenti valori di m: 140; 139; 138; 137, 136.
…in matlab
x=[zeros(15,1)+138; zeros(7,1)+143; zeros(5,1)+135; zeros(3,1)+144];
[h sig, ci, tval]=ttest(x,140,0.05,-1)
% zona di rifiuto
t1=tinv(0.05, 29)
x1=140+t1*std(x)/sqrt(length(x))
% approssimando alla distribuzione normale…
normspec([-Inf x1], 140, std(x)/sqrt(30))
%determino la nuova soglia critica con sigma noto
sc=norminv(0.05, 140, 3.3/sqrt(30))
normspec([-Inf sc], 140, 3.3/sqrt(30))
% potenza del test
m0=140;
n=30;
sigma=3.3;
alpha=0.05;
m1=(136:140)';
ma=sqrt(n).*(m1-m0)./sigma;
zs=norminv(alpha);
pots=normcdf(zs,ma,1);
plot(m1, pots);
TITLE('funzione di potenza');
Esempio
Un carattere X si distribuisce secondo una variabile casuale normale di media ignota e varianza paria 36. Da tale popolazione si estrae un campione indipendente di numerosità n = 25. Fissato α= 0.05, determinare:
a) la zona di rifiuto del test per la verifica dell'ipotesi
H0: =7 contro l'ipotesi alternativa H1: >7 ;
b) dopo aver descritto la funzione di potenza del test impiegato nella verifica d'ipotesi, fornire il valore che questa assume per
= 7;7.5; 8; 8.5; 9; 9.5; 10; 10.5; 11; 11.5; 12; 12.5; 13
e delinearne graficamente l'andamento.
% zona di rifiuto
sc=norminv(0.95, 7, sqrt(36/25))
normspec([sc +Inf], 7, sqrt(36/25))
% potenza del test
m0=7;
n=25;
sigma=6;
alpha=0.05;
m1=(7:0.5:13)';
ma=sqrt(n).*(m1-m0)./sigma;
zd=norminv(1-alpha);
potd=1-normcdf(zd,ma,1);
plot(m1, potd);
TITLE('funzione di potenza ');
% oppure
p=1-normcdf(sc, m1, sigma/sqrt(n))
plot(m1, p, '-*')
Test d’ipotesi per la differenza di due medie
Esempio
Si sono rilevati i tempi di produzione di 6 operai che assemblano componenti elettroniche secondo un determinato schema e si sono ottenuti i seguenti risultati (in minuti)
8,2 5,3 6,5 5,1 9,7 10,8.
Si sono rilevati inoltre i tempi di produzione di 8 operai che assemblano componenti elettroniche dello stesso tipo ma secondo uno schema di lavoro diverso e si sono ottenuti i seguenti risultati (sempre in minuti)
9,5 8,3 7,5 10,9 9,3 8,0 11,3 8,8.
Dopo aver introdotto le opportune ipotesi, verificare (=0.10) se è indifferente usare i due schemi di lavoro.
Si sospetta che il livello medio di glucosio nel sangue della popolazione Messicana sia pari a 105. Da un campione di 20 persone si è rilevato un livello medio di glucosio pari a 110, con una devianza di 14. Supponendo che il livello di glucosio nel sangue (X) segua una distribuzione normale e posto =0.05,
è possibile ritenere che il livello medio di glucosio nel sangue dell'intera popolazione sia maggiore di 105 ?
Da un campione di 15 persone estratto da una popolazione del Nord America il livello medio del sangue è risultato pari a 100, con una deviazione standard di 12.5. Supponendo l'omogeneità delle varianze delle due popolazioni, si può ritenere significativa la differenza tra i due livelli medi di glucosio?
Esercizio (esame 23/06/2003)
Una partita di 10000 chiodi viene venduta con un contratto che prevede che la frazione di difettosi non debba superare π=0.05. Il responsabile del controllo di qualità di una ditta aquirente decide di estrarre un campione casuale di n=500 chiodi e di accettare il lotto (e quindi di acquistarlo) solamente se nel campione si riscontrano meno di k=27 pezzi difettosi.
.Determinare il sistema delle ipotesi e la regione critica del test corrispondente alla procedura decisionale sopra descritta.
Calcolare il rischio del venditore, cioè la probabilità che venga rifiutata la partita quando essa effettivamente non contiene più dell' 5% di pezzi difettosi.
Nel caso particolare di =0.1, calcolare il rischio del compratore, cioè la probabilità di accettare la partita.
Trovare la dimensione campionaria n e la soglia critica k di un piano di un campionamento alternativo tale che il rischio del compratore (quando =0.1) e del venditore (quando =0.05) siano entrambi pari al 2%.
Sapendo che nel campione (di numerosità n=500) si sono riscontrati x=28 pezzi difettosi, calcolare il p-value e commentare il risultato con riferimento al test d'ipotesi del punto a).
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