William Sandqvist william@kth.se Maurice Karnaugh Karnaugh-diagrammet gör det enkelt att minimera Boolska uttryck!
William Sandqvist william@kth.se Maurice Karnaugh Karnaugh-diagrammet gör det enkelt att minimera Boolska uttryck!
William Sandqvist william@kth.se En funktion av fyra variabler a b c d Den som använt Booles algebra vet att det därefter följer ett mödosamt arbete för att ta fram enklare uttryck. Mintermerna kan kombineras på många olika sätt som alla resulterar i olika förenklade uttryck - hur vet man om man har funnit det enklaste? Sanningstabellen till höger innehåller 11 st 1:or och 5 st 0:or. Funktionen kan ut-tryckas på SP-form med 11 st mintermer eller på PS-form med 5 st maxtermer.
William Sandqvist william@kth.se Ett diagram med enhetsavstånd Karnaughdiagrammet är sanningstabellen men med en annan ordning. Lägg märke till numreringen! Rutorna är ordnade så att endast en bit ändras mellan två vertikala eller horisontella rutor. Denna ordning kallas för Gray-kod.
William Sandqvist william@kth.se Två ”grannar” Rutorna "5" och "13" är "grannar" i Karnaughdiagrammet ( fast det är långt mellan dem i sanningstabellen ). De svarar mot två mintermer med fyra variabler, och i figuren visas hur de med Booles algebra, kan reduceras till en term med tre variabler. Det de två rutorna har gemensamt är att b=1, c=0 och d=1, och den reducerade termen uttrycker precis detta.
Överallt i Karnaughdiagrammet där man hittar två ettor som är "grannar" ( vertikalt eller horisontellt ) kan man reducera de min-termerna till det som är gemensamt för de två rutorna. Detta kallas för en hoptagning.
William Sandqvist william@kth.se Fyra ”grannar” Rutorna "1" "3" "5" "7" är en grupp av fyra rutor med ettor som ligger som "grannar" till varandra. Även här går de fyra mintermerna att reducera till en term som uttrycker det som är gemensamt för rutorna, nämligen att a=0 och d=1. Överallt i Karnaughdiagrammet där man hittar sådana grupper av fyra ettor kan man göra sådana förenklingar, hoptagningar.
William Sandqvist william@kth.se Åtta ”grannar” Alla grupper av 2, 4, 8, ( ... 2N dvs. med jämna 2-potenser ) rutor som innehåller ettor kan reduceras till en term, med "det som är gemensamt", en hoptagning.
William Sandqvist william@kth.se Karnaugh - toroid Egentligen bör man avbilda Karnaughdiagrammet på en toroid ( en donut ). Når man en kant, så börjar diagrammet om från den motsatta sidan! Ruta 0 är således "granne" med ruta 2, men även "granne" med ruta 8 som är granne med ruta 10. De fyra ettorna i hörnen har b=0 och d=0 gemensamt och kan därför bilda en hoptagning.
Bästa hoptagningar? Jämför den resulterande funktionen med de ursprungliga 11 mintermerna! Man söker efter så stora hoptagningar som möjligt. I exemplet finns det en hoptagning med åtta ettor ( rutorna 0,1,3,2,4,5,7,6 ). Hörnen ( 0,2,8,10 ) är en hoptagning av fyra ettor. Två av rutorna ( 0,10 ) har redan tagits med i den första hoptagningen, men inget hindrar att en ruta bir medtagen flera gånger.
Alla ettor måste med i funktionen, antingen i en hoptagning, eller som en minterm. Ettan i ruta 13 kan bilda en hoptagning med ettan i ruta 5, någon större hoptagning finns tyvärr inte för denna etta. William Sandqvist william@kth.se
William Sandqvist william@kth.se Felaktiga hoptagningar? Finns det några felaktiga hoptagningar i detta Karnaugh-diagram? Hoptagningar ska vara 2, 4, 8 (= tvåpotenser) ”grannar” vertikalt eller horisontellt, ej diagonalt.
William Sandqvist william@kth.se 6.1 Karnaughdiagrammet
William Sandqvist william@kth.se (6.2 Karnaughdiagrammet)
William Sandqvist william@kth.se Hoptagningar av 0:or Karnaughdiagrammet är också användbart för hoptagning av 0:or. Hoptagningarna kan omfatta samma antal rutor som i fallet med hoptagning av 1:or. I detta exempel kan 0:orna tas ihop i par med sina "grannar". Maxtermerna förenklas till det som är gemensamt för rutorna.
De Morgan Tar man ihop 0:or som om de vore 1:or får man funktionens invers! (det vill säga helt fel)
Med De Morgans lag kan man därefter ta fram den icke-inverterade funktionen. (nu helt rätt) Tips! William Sandqvist william@kth.se
William Sandqvist william@kth.se Andra variabelantal Karnaughdiagram med tre och två variabler är också användbara.
Metoden kan med lite möda även användas för 5 och 6 variabler – men enklare är att använda något av de generella minimeringsprogram som finns. 6
6.4 Byt från NOR till NAND
William Sandqvist william@kth.se ?
6.4
William Sandqvist william@kth.se =
6.4
William Sandqvist william@kth.se = !
PLD-kretsar har utgångsinverterare
William Sandqvist william@kth.se PLD-kretsar har ofta en XOR-grind på utgången så att man vid behov skall kunna invertera funktionen. Man kan då välja mellan att ta ihop 0:or eller 1:or efter vad som är fördelaktigast.
När styrsignalen a är ”1” blir utgången lika med b:s invers, när a är ”0” blir utgången lika med b.
6.5 Minimera med K-map
William Sandqvist william@kth.se
6.5
William Sandqvist william@kth.se Hoptagning av ettor Hoptagning av nollor Denna gång var det förmånligast att ta ihop 0:or och invertera utgången!
Comments