Cuando una función nos viene dada de forma analítica, y=f(x), su derivada
f ’(x) nos da la inclinación o pendiente de la función en cada punto.
EJEMPLO
Hallar la derivada de y = x2 + 3x – 5 en x = -2, en x = 0, y en x = 3
Hallamos la función derivada: y ‘ = 2x + 3
f ‘(-2) = 2.(-2) + 3 = - 4 + 3 = - 1
f ‘(0) = 2.(0) + 3 = 0 + 3 = 3
f ‘(3) = 2.(3) + 3 = 6 + 3 = 9
Que es mejor que calcular las tres derivadas de la función en un punto.
EJEMPLO
Hallar los máximos y mínimos relativos de la función:
y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5
Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12
La igualamos a cero: 6.x2 + 6.x – 12 = 0
Simplificamos: x2 + x – 2 =0
Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1
En x = -2 habrá un máximo o un mínimo relativo.
En x = 1 habrá un máximo o un mínimo relativo.
Normalmente si en uno de los puntos hay un máximo en el otro hay un mínimo.
Para determinar si es máximo o mínimo estudiaremos su entorno.
Mín(1, - 12 Máx(-2, 1) -3 -2 -1 0 1 2 Teníamos la función:
y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5
Tabla de valores
x y
-3 4
-2 15
-1 8
0 -5
1 -12
2 -1
3 40
EJEMPLO
Sea la función, ya empleada: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5
Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12
Simplificamos: y ‘ = 6.(x2 + x – 2 )
Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 son las raíces de y ‘
Factorizamos: y ‘ = 6.( x + 2).(x – 1)
En ( - oo, -2) y ` > 0 Pendiente positiva Función Creciente.
En ( - 2, 1) y ` < 0 Pendiente negativa Función Decreciente.
En ( 1, + oo) y ` > 0 Pendiente positiva Función Creciente.
OTRO EJEMPLO
Sea la función: y = x / (x – 1)
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
En x = 1 la función presenta una asíntota vertical.
Hallamos su derivada: y ‘ = [1.(x – 1)– 1.x] / (x – 1)2
Simplificamos: y ‘ = - 1 / (x – 1)2
Como y’ no puede ser 0, la función no presenta máx. ni mín.
Intervalos:
En ( - oo, 1) y ` (0) = - 1 < 0 Pendiente negativa Decreciente.
En ( 1, + oo) y `(2) = -1 < 0 Pendiente negativa Decreciente.
OTRO EJEMPLO
Sea la función: y = 2 / (x2 – 4)
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
En x = -2 y en x=2 la función presenta asíntotas verticales.
Hallamos su derivada: y ‘ = [0.(x2 – 4)– 2.2x] / (x2 – 4)2
Simplificamos: y ‘ = - 4x / (x2 – 4)2
Hacemos y’ = 0 x = 0
En x = 0 la función presenta un máximo o un mínimo.
Intervalos:
En ( - oo, -2) y ` (-3) = > 0 Pendiente positiva Creciente.
En ( -2, 0) y ` (-1) = > 0 Pendiente positiva Creciente.
En ( 0, 2) y ` (1) = < 0 Pendiente negativa Decreciente.
En ( 2, + oo) y ` (3) = < 0 Pendiente negativa Decreciente.
EJEMPLO
Sea la función, ya empleada: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5
¿Para qué valor de x la pendiente de la recta tangente valdrá m=2?
Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12
Simplificamos: y ‘ = 6.(x2 + x – 2 )
Resolvemos la ecuación: 2 = 6.(x2 + x – 2 ) 6.x2 + 6.x – 14 = 0
3.x2 + 3.x – 7 = 0 x = [ - 3 +/- √(9 + 84)] / 6 = 1,11 y - 2,11
En x = -2,11 y en x = 1,11 la pendiente de la tangente vale m=2.
EJEMPLO
Hallar el valor de a para que el máximo de la función
y = – 2 .x2 + 4.x + a valga 8.
Derivamos e igualamos a cero, pues al ser un máximo su pendiente es nula.
y`= - 4x + 4 = 0 x = 1 es la abscisa donde está el máximo.
8 = – 2 .12 + 4.1 + a a = 8 + 2 – 4 a = 6
EJEMPLO
Hallar el valor de a y b para que la función
y = x3 + a.x2 + b.x + 1 tenga un mínimo en el punto P(2, - 15)
Derivamos e igualamos a cero, pues al ser un mínimo su pendiente es nula.
y`= 3.x2 + 2.a.x +b = 0 x = 2 es una de las dos soluciones.
12+4.a+b = 0 b = – 4.a – 12 se debe cumplir.
Sustituyendo en la función: – 15 = 23 + a.22 + (– 4.a – 12) + 1
– 15 = 8 + 4.a – 4.a – 12 + 1 12 = 24 Falso
En P(2, - 15) la función no puede presentar ningún mínimo relativo.
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