Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Analisi dei Dati Università Carlo Cattaneo Emanuele Borgonovo
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Analisi dei Dati Università Carlo Cattaneo Emanuele Borgonovo
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Capitolo I
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Introduzione Processo Stocastico: un processo stocastico è un processo che è costituito da eventi la cui realizzazione non è deterministica, ma caratterizzata da incertezza
Esempio: i tempi di arrivo dei clienti in un grande centro commerciale o il numero di clienti che arriva al centro commerciale nell’intervallo dt attorno al tempo t.
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Elementi introduttivi di Teoria della Probabilità
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Probabilità E’ possibile definire la Probabilità?
Sì, ma ci sono due scuole
La prima dice che la probabiltà è una porprietà oggettiva degli eventi (Scuola Frequentista)
La seconda dice che la Probabilità è una misura “soggettiva”della verosimiglianza degli eventi (De Finetti)
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Gli Assiomi di Kolmogorov U B A
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Supponete di saltare dentro U a caso. Chiamate P(A) la probabilità di saltare in A. Quanto vale?
Sarà l’area di A diviso l’area di U: P(A)=A/U
In questo caso P(U)=P(A)+ P(B)+ P(C)+ P(D)+ P(E) Aree e rettangoli? U C A B D E
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Legge della somma delle probabilità Dati n eventi non mutuamente esclusivi, in generale la probabilità dell’unione di detti n eventi sarà la somma delle probabilità degli eventi singoli, cui si sottrarrà la somma delle probabilità delle doppie intersezioni, si sommeranno le probabilità delle triple intersezioni e così via.
In termini di aree
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Legge della somma delle probbilità in termini di aree 2 eventi
3 eventi
U B A AB U B A AB C
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici U IL teorema della probabilità Totale Teorema probabilità totale: dati N eventi mutuamente esclusivi (A1, A2,…,AN) e esaustivi, la probabilità di un altro evento E in U è data da:
A1 A2 A3 A4 E
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Esempio Ad una lotteria, si gioca con una scatola che contiene cappelli eleganti e sportivi in egual proporzione. Il gioco è il seguente. Si estrae un cappello. Se è elegante si ha diritto a tirare una moneta. Se esce testa, si estrae un altro cappello. Non si ha diritto ad altre estrazioni. Qual è la probabilità di vincere due cappelli eleganti?
Soluzione: Applichiamo il teorema della probabilità totale a P(2 cappelli eleganti):
P(2 cappelli eleganti)=P(II cap. el.|1 estrazione)*P(1estrazione)+P(II cap. el.|II estrazione)*P(II estrazioni).
Chiaramente P(2 cappelli|1 estrazione)=0, quindi:
P(II cappelli elegante)=P(II cap. el.|II estrazione)*P(IIestrazione).
P(II estrazione)= P(II estrazioni|I sprt)*P(I sprt)+P(II estrazione|I eleg)*P(I eleg)
Ora: se il primo è sportivo non si ha diritto a seconda estrazione.
Osserviamo poi che: P(II estrazione| I eleg)= P(testa) =1/2
Quindi: P(II estrazione)=1/2·1/2=0.25
Inoltre: P(II cap. el .)=P(II cap. el.|II estrazione)*P(II estrazione)=1/2*0.25=0.125
Per esercizio calcolare:
La probabiltà di uscire con un cappello
La probabilità di uscire con un cappello elegante e con uno sportivo
Ripetere gli stessi calcoli se I cappelli sono in proporzione 2/3 sportivi/eleganti
Esercizio
Entrare. Dato che entra (Entra) dice entra 0,95. Dato non entra, dice non entra 0,90.
P(E)=0,7.
P(DiceE)=P(DiceE|E)*P(E)+P(DiceE|NE)*P(NE)=0,95*0,7+0,1*0,3=0,695
P(DiceE|NE)=1-P(DiceNE|NE)=1-0,9=0,1 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Funzione di Partizione La funzione di partizione (cumulative distribution) di una variabile casuale risponde alla definizione di essere la probabilità che il valore della variabile casuale sia inferiore ad un valore di riefrimento.
Scriviamo: FX(x)=P(X<=x)
Per una variabile discreta:
Per una variabile continua deve esistere una funzione f(u) tale che:
La funzione f(u) è detta densità di probabilità di X
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Relazione tra F(x) ed f(x) Se f(x) è continua, allora vale:
Esempio. Sia 0
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Valore atteso Il valore atteso di una variabile aleatoria continua è definito da:
Esempio:
Per una variabile discreta:
Esempio: calcolare il valore atteso della variabile aleatoria in Tabella a fianco
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Varianza La varianza esprime lo scostamento quadratico medio dal valor medio. E’ definita da:
Notiamo la relazione tra V[X] e E[X2]. Si ha:
E[X2] è detto momento di ordine 2 o secondo momento della distribuzione f(x).
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Skewness E’ il parametro che misura il grado di asimmetria di una distribuzione.
La definiamo come momento centrale del III ordine:
Se la distribuzione è simmetrica la skewness è nulIa.
Di sotto la skewness delle distribuzioni più comuni
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici ..alla distribuzione di Poisson
P è detta distribuzione di Poisson
prende il nome di rateo o tasso della distribuzione
Significato: probabilità di avere k eventi, dato il tasso .
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Momenti della distribuzione di Poisson
Quindi:
Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici La distribuzione Beta La distribuzione beta della variabile X, con ax b è definita come segue:
(q,r) è detta funzione beta.
Momenti della distribuzione:
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