몇 가지 추가사항추가자료 4-A ♦ 4장 강의노트에서 충분히 설명하지 못 했거나 별도의 설명이 필요한 몇 가지 유용한 개념들을 따로 정리한 것임.
몇 가지 추가사항
추가자료 4-A ♦ 4장 강의노트에서 충분히 설명하지 못 했거나 별도의 설명이 필요한 몇 가지 유용한 개념들을 따로 정리한 것임.
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무한등비수열의 합 • 경제학에서 간혹 규칙성을 갖고 무한히 계속되는 숫자의 나열을 다룰 때가 있다. 무한등비수열 (Infinite Geometric Series) 부록 A • 아래와 같은 무한등비수열을 생각해 보자. a, ar, ar2, ar3, ar4 …… (a = 초항 , r = 공비) 만약 r이 1보다 작은 수라면 이 수열의 합(‘무한등비 급수’라고 부른다)은 특정한 값에 수렴한다. • 맨 앞의 숫자(초항)를 a라고 할 때 여기에 r을 반복적 으로 곱해서 무한히 많은 항들이 연이어 만들어질 경우 이를 ‘무한등비수열’이라고 한다.
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• 응용 : 1) 영구채의 만기수익률 계산 2) 은행의 파생적 예금창조 공식 도출 3) 케인즈의 단순소득모형에서 독립적 지출승수 도출 • (1)식에서 (2)식을 빼면 , (1-r)S = a 가 되고 따라서 • 그렇다면 이 무한 등비 급수의 합은? • Let S = a + ar + ar2 + ar3 + …… (1) Then rS = ar + ar2 + ar3 + ar4 + …… (2)
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70의 법칙 부록 B • 변수 A는 n년 후 A(1+i)ⁿ의 크기로 성장할 것이므로 A(1+ i)n = 2A (즉, A의 n년 후 미래가치 = 현재가치의 2배) 라고 두고 이 식을 n에 관해 풀면 정확한 n의 값, 즉, 2A로 늘어나는데 걸리는 햇수가 구해진다. • 매년 i X 100%의 일정한 성장률을 보이는 경제변수 A의 크기가 지금의 두 배로 늘어나는데 몇 년 (n)이 걸리나? ☞ 가령 매년 5%씩 물가가 상승할 경우 현재의 물가수준 P가 그 두 배인 2P로 되는데 몇 년이 걸리느냐를 생각해보자. 2년 후에는 P(1+0.05) + P(1+0.05)X0.05 = P(1+0.05)2 가 된다. 이것은 복리로 이자 지급되는 예금 P원의 2년 후 원리금 구하는 경우와 계산상 동일하다.
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▫ 만일 i = 4%이면 n = 0.693/ln1.04 = 0.693/0.039 = 17.67년 이다. ▫ 양변에 자연대수를 취하면, n·ln(1+i) = ln2 가 되고 이로부터 n = 0.693/ln(1+i) 을 얻게 된다. ☼ 계산과정: ▫ 양변을 A로 나누면 (1+ i)n = 2가 된다. 따라서 2배로 커지는데 걸리는 시간은 현재의 변수 크기와 무관하고 오로지 성장률에 달려 있음을 알 수 있다. ▫ 여기서 주목할 것은 2배로 느는데 걸리는 햇수(n)와 연 증가율(%)의 곱은 “대략 70근처”라는 점이다. 따라서 70에서 연 % 증가율을 나눠주면 (컴퓨터 등을 사용하지 않고서도) 2배로 느는데 걸리는 햇수의 근사치를 바로 구할 수 있다.
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☼ 대수(log/logarithm)와 자연대수(natural logarithm) ▫ 일반적으로 logax = m 이라고 놓으면 am = x 가 되는데 밑수로는 10이 많이 사용된다. ▫ 우리는 103 = 1000임을 아는데 여기서 10을 밑수(base number), 3을 지수(exponent)라고 한다. ▫ 만일 지수에 초점을 맞추면 3 = log101000으로 바꾸어 표시할 수 있는데 이는 1000을 얻기 위해서는 밑수 10을 몇 제곱하면 되는가를 표시한다. ▫ 10을 밑수로 하는 이러한 로그를 상용로그라고 하며 만일 10000에 상용로그를 취하면 log1010000 = log10104 = 4가 된다. 즉, 로그는 큰 숫자들을 작은 숫자로 변환하여 다룰 수 있게 해 준다.
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▫ 한편 무리수(즉, 유리수와는 달리 나눠 떨어지지 않는 수) 중에서 약 2.718….의 값을 가지는 특별한 무리수 가 있는데 이를 e라고 부른다. ▫ 5쪽에서와 같이 (1+ i)n = 2 가 주어졌을 때 이 식의 양변에 자연대수를 취하면 ln(1+ i)n = ln2가 되고 로그의 성질을 이용하면 이는 nln(1+ i) = ln2 로 고쳐 쓸 수 있다. ▫ ln2 ≈ 0.693 인데 이는 엑셀에서 구해도 되고 손 계산기(아무리 싸구려 계산기라도 로그함수 기능 있음)를 이용해도 된다. ▫ 로그의 중요한 성질 중에서 lnxy = lnx + lny 이고 lnxn = nlnx 임을 알아두자. (증명은 수리경제학 책 참조) ▫ e를 밑수로 하는 로그를 자연대수라고 하고 loge 대신에 보통 ln으로 표시한다.
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• 즉, 70의 법칙 (또는 72의 법칙)은 어떤 경제변수가 지금의 두 배 크기로 느는데 걸리는 햇수는 70 (또는 72)에서 그 변수의 연 증가율을 나눠 준 것과 비슷한 값이라는 것. • 그러나 아래 도표에서 보듯 정확한 계산을 통해 얻는 수치와 다소 차이가 있기 때문에 연성장률이 2%에 가까울 경우 70의 법칙을 사용하고 8%에 보다 가까울 경우 72의 법칙을 사용함으로써 오차를 약간 줄일 수 있다.
EX 1) 연 복리수익률이 10%인 자산은 약 7년이면 그 가치가 두 배로 상승한다. EX 2) 연 이자율이 2%인 저축예금은 약 35년 뒤에 원금이 두 배로 늘어난다. EX 3) 1990년대 말 주식 평균수익률이 대략 20%였을 때 주식 포트폴리오의 가치는 단 3년 반 만에 두 배로 뛰고 있었다. EX 4) 연 이자율이 14%라면 현재 5,000달러인 부채는 5년 후면 10,000달러가 된다. EX5) 물가가 매년 24% 증가하는 경제의 돈의 실질 가치는 약 3년마다 반으로 떨어진다.
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주식과 현재 가치 부록 C • 그렇다면, 주식의 “적정” 가격은 ? 미래의 모든 배당소득 흐름의 현재 가치 (흔히 말하는 주식의 내재가치 개념임.) • 채권의 “적정” 가격은? 채권이 창출하는 모든 이자소득 흐름의 현재가치 : O.K.! ☼ 이론적으로는 O.K.이지만 실제로 이 개념은 유용하게 사용되지 못하는데 그 이유는 1) 기업의 미래 수익과 미래 배당을 확실하게 알 지 못할 뿐만 아니라 2) 주식과 채권의 위험은 동일하지 않기 때문.
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주식과 금리 부록 D • 주식은 이자를 지급하지 않는데도 불구하고 왜 주가는 이자율 변화에 민감하게 반응하나? ▫ 금리가 오르면, 채권을 사는 사람들이 더 많아지므로 주식수요는 감소하고 주가는 하락. ▫ 금리가 내리면, 채권을 사는 사람들이 더 적어지므로 주식수요는 증가하고 주가는 상승. • 또한 금리와 주가 사이의 역관계를 다음과 같이 설명할 수도 있다. : 주식과 채권은 서로 대체관계에 있기 때문. ▫ 금리가 오르면 주식이 가져다 주는 배당소득의 현재가치가 하락하고 따라서 주식의 수요와 가격이 하락한다.
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▫ 주기(period) : 이자 지급 사이의 시간 간격 ▫ 주기 이자(periodic interest) : 매 주기 지급된 이자 • 만일 연이자율이 “i”이고 이자가 1년에 m번 복리계산 (즉, 이자를 원금에 가산) 한다고 하면 주기 이자율 = i/m ▫ 복리계산회수(Frequency of compounding: m) : 1년 동안의 이자 지급 횟수 • 복리이자 지급시점 사이의 시간 간격 (즉, 주기)이 0에 근접할 경우 복리계산이 연속적(continuous)이라고 한다. 주기 이자 복리이자율 좀 더 자세히 보기 부록 E
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주기 m 주기이자율 If i = 12% 연 1 i 12% 반기 2 i/2 6% 분기 4 i/4 3% 월 12 i/12 1% 일 365 i/365 0.033% • 보편적인 이자주기와 해당 주기이자율
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• 이자가 1년에 m번 복리 계산될 경우 연수익률 구하는 공식은 아래와 같다. • 1 년 동안의 총이자지급액 대 원금의 비율을 말하며 실효이자율 또는 복리이자율이라고도 함. 상이한 복리이자율을 비교하는 수단으로 활용됨. ☼ 여기서 만일 m=1이면 실효이자율(APY)은 i x 100 이 되는데 이는 다름 아닌 흔히 말하는 ‘연 이자율’ 혹은 ‘명목이자율’이다. 연수익률 (APY; Annual Percentage Yield)
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원금(P) 이자(I) 기말잔액 (P+I) 6 개월 후 A 12 개월 후 연 이자율이 “i” 인 저축 예금에 $A가 투자되었다고 하자 앞에서 살펴본 연수익률 공식은 어떻게 도출된 것일까? • 만일 1년에 2번 복리 이자가 붙는다면, 6개월 후 원리금은 이고 1년 후 원리금은 이 된다. 이자 증식과정을 표로 나타내면 아래와 같다.
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분모, 분자를 똑같이 A로 나누어주면 결국 이 된다. • 따라서 이 경우 연수익률(APY)은 에서
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원금(P) 이자(I) 기말잔액(P+I) 4 개월 A 8 개월 12 개월 • 만일 1년에 3번 복리이자가 붙는다면 연말의 원리금은 이 되고 따라서 연수익률(APY)은: 이 된다.
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