f (a+h, b+k) - f (a, b) 関数z =f (x,y)は点(a,b)を含む領域で偏微分 ={f (a+h, b+k) - f (a, b+k)} +{f (a, b+k) - f (a, b)} =hfx (a+q1h, b+k) + kfy (a, b+q2k) となるq1(0
f (a+h, b+k) - f (a, b) =hfx (a, b) + kfy (a, b) +he1 +e2k lim e1 = 0 (h, k) → (0, 0) lim e2 = 0 (h, k) → (0, 0) f (a+h, b+k) - f (a, b) lim e1 = 0 (h, k) → (0, 0) lim e2 = 0 (h, k) → (0, 0) =hfx (a, b) +he1 + kfy (a, b) +e2k
さらにe = (he1+ke2)2≦ (h2+k2)(e12+e22)となるので， とおくと， f (a+h, b+k)-f (a, b) =hfx(a, b)+kfy(a, b) と表される。コーシー・シュワルツの不等式を用いると， lim e = 0 (h, k) → (0, 0) このとき，関数z =f (x,y)は (a,b)を全微分可能であるという。 (*) f (a+h, b+k) - f (a, b) =hfx (a, b) + kfy (a, b) +he1 +e2k lim e1 = 0 (h, k) → (0, 0) lim e2 = 0 (h, k) → (0, 0) e 2≦ e12+e22 (h2+k2)(e12+e22) -(he1+ke2)2 =(he2-ke1)2 ≧0 = e
(he1+ke2)2≦ (h2+k2)(e12+e22)となるので， f (a+h, b+k)-f (a, b) =hfx(a, b)+kfy(a, b) と表される。コーシー・シュワルツの不等式を用いると， lim e = 0 (h, k) → (0, 0) このとき，関数z =f (x,y)は (a,b)を全微分可能であるという。 (*)
(he1+ke2)2≦ (h2+k2)(e12+e22)となるので，
f (a+h, b+k)-f (a, b) =hfx(a, b)+kfy(a, b) と表される。コーシー・シュワルツの不等式を用いると， lim e = 0 (h, k) → (0, 0) このとき，関数z =f (x,y)は (a,b)を全微分可能であるという。 (*) (*)において，A=fx(a, b)，B=fy(a, b)，c=f (a, b)とおくと f (x, y) =A(x-a)+B(y-b)+c と表すことができる。このとき， z=fx(a, b)(x-a)+fy(a, b)(y-b)+f (a, b) は点(a,b,c)を通る平面を表す。この式は曲面z =f (x,y)上の 点P(a,b,c)における接平面の方程式であることを示そう。
f (a+h, b+k)-f (a, b) =hfx(a, b)+kfy(a, b) (*) z=fx(a, b)(x-a)+fy(a, b)(y-b)+f (a, b) 平面 z =fx(a, b)(x-a)+fy(a, b)(y-b)+f (a, b) は点(a,b,c)を通る平面を表す。この式は曲面z =f (x,y)上の 点P(a,b,c)における接平面の方程式であることを示そう。 は 接平面 曲面 z =f (x, y) lim e = 0 (h, k) → (0, 0) lim e = 0 (h, k) → (0, 0)
f (a+h, b+k)-f (a, b) =hfx(a, b)+kfy(a, b) (*) z =fx(a, b)(x-a)+fy(a, b)(y-b)+f (a, b) = x = y = x-a = y-b z曲面 -z平面 = z曲面 -c z平面-c h k 全ての向きで傾きの差 平面は曲面に接している 断面 断面 曲面 平面 平面 曲面 平面 曲面 z =f (x, y) は 接平面 = fx(a, b) x-a ( )+ fy(a, b) y-b ( )+ f (a, b) lim e = 0 (h, k) → (0, 0)
z =fx(a, b)(x-a)+fy(a, b)(y-b)+f (a, b) 平面 は 接平面 z=fx(a, b)(x-a)+fy(a, b)(y-b)+f (a, b) の方程式 接平面 f (a+h, b+k)-f (a, b) =hfx(a, b)+kfy(a, b) (*) z曲面 -z平面 = z曲面 -c z平面-c h k 全ての向きで傾きの差 平面は曲面に接している 断面 断面 曲面 平面 平面 曲面
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(fx(a, b), fy(a, b), - 1)
( , , ) - 1 ( - ) =0 移項して ベクトル は接平面に垂直である。 点P(a,b,c)を通り接平面に垂直な直線の方程式は この直線は曲面上の点P(a,b,c)における法線と呼ばれる。 変形してtを消去すると と表される。 となる。 fx(a, b)(x-a)+fy(a, b)(y-b) z - f (a, b) fx(a, b) fy(a, b) (x,y,z )-(a,b,c) = t z=fx(a, b)(x-a)+fy(a, b)(y-b)+f (a, b) の方程式 接平面 f (a+h, b+k)-f (a, b) =hfx(a, b)+kfy(a, b) (*)
(fx(a, b), fy(a, b), - 1)
この直線は曲面上の点P(a,b,c)における法線と呼ばれる。 変形してtを消去すると と表される。 となる。 (x,y,z )-(a,b,c) = t の方程式 法線 (fx(a, b), fy(a, b), - 1) (x,y,z )-(a,b,c) = t z=fx(a, b)(x-a)+fy(a, b)(y-b)+f (a, b) の方程式 接平面 f (a+h, b+k)-f (a, b) =hfx(a, b)+kfy(a, b) (*)
の方程式 法線 (fx(a, b), fy(a, b), - 1) (x,y,z )-(a,b,c) = t z=fx(a, b)(x-a)+fy(a, b)(y-b)+f (a, b) の方程式 接平面 f (a+h, b+k)-f (a, b) =hfx(a, b)+kfy(a, b) (*) 1次近似式 (*)においてh，kが十分小さいとき、近似式 f (a+h, b+k) hfx(a, b)+kfy(a, b) が成り立つ ≒ f (a+h, b+k) f (a, b) +hfx(a, b)+kfy(a, b) ≒ 1次近似式 f (a, b) +
合成関数の偏微分法
z =f (x,y), x=u(t), y=v(t)のとき 合成関数 z =f (u(t),v(t)) を考えよう。 Dx Dt Dy Dt -f (u(t),v(t+Dt)) f (u(t),v(t+Dt)) Dt Dt Dx Dy 合成関数の偏微分法
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